在寫第二節第六個的時候實在是不想寫公式了，暫時的本領和技巧都不夠，寫數學公式簡直就是要磨壞我一身的骨頭。哎，就寫形式和結論了，見諒！！😯{抱拳！！}
微分方程基本知識點及其解法
一、基本定義
\(a（x）·y^{(n)}+b(x)·y^{(n-1)}+c（x）y^{(n-2)}+d（x）y^{(n-3)}......+e（x）y'''+g（x）y''+h（x）y'+j(x)y=f(x)\)
這個就是n階微分方程，左邊的a，b，c，d······稱為係數項。\(f（x）\)稱為自由項。\(y^{(n)}\)中的n稱為階數
（1）.當\(f(x)\equiv0\)時，稱為齊次微分方程
（2）.當\(f(x)\neq0\)時，稱為非齊次微分方程
（3）.當\(a,b,c,d,e....\)為常數時，稱為常係數微分方程
（4）.當\(a,b,c,d,e....\)為變函式時，稱為線性微分方程
二、一階微分方程
【1】.變數可分離型
$$\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{g(x)}{f(y)}$$
\[\frac{\partial y}{f(y)}=\frac{\partial x}{g(x)}
\]
【2】.可化成變數可分離型
$$\frac{\partial y}{\partial x}=f(ax+by+c)$$
$$\mu=ax+by+c$$
$$\mu'=a+f(\mu)$$
$$\mu=\phi(x,c_1)=ax+by+c$$
最後求解$y$
【3】.齊次微分方程
\[\frac{\partial y}{\partial x}=f(\frac{y}{x})
\]
\[\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial \mu}{\partial y}=f(\frac{y}{x})
\]
\[y=\mu x
\]
\[y'=x\mu'+\mu
\]
\[x\mu'+\mu=f(u)
\]
\[\frac{\partial \mu}{\partial{f(\mu )-\mu}}=\frac{\partial x}{ {x}}
\]
\[\mu=\frac{y}{x}=\phi(x,C_1)
\]
最後求解\(y\)
【4】.可降階的形式一
\[\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=f(y',x)
\]
\[\mu=\frac{\partial y}{\partial x}
\]
\[\mu'=y''
\]
\[\mu'=f(\mu,x)
\]
最後求解\(y=\displaystyle\int\mu_{(x)} dx\)
【5】.可降階的形式二
\[\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=f(y',y)
\]
\[\mu=\frac{\partial y}{\partial x}
\]
\[\mu=\frac{\partial \mu}{\partial y}·\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial \mu}{\partial y}·\mu
\]
\[\frac{\partial \mu}{\partial y}·\mu=f(y,y')=f(y,\mu)
\]
\[\mu=\frac{\partial y}{\partial x}=\phi(y,c_1)
\]
最後求解\(y\)的解析式即可
【6】.一階線性微分方程
\[y'+p(x)y=q(x)
\]
\[y=e^{\int-p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C]
\]
【7】.伯努利微分方程
\[y'+p(x)y=q(x)x^n
\]
\[z=y^{1-n}
\]
\[\frac {z'}{1-n} +p(x)z=q(x)
\]
解出來\(z\)再解\(y\)
三、二階微分方程
【8】二階微分方程
\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
\]
二階常係數微分方程通解：特徵方程：\(r^2+pr+q=0\)
\[\begin{cases}
\Delta >0 &y=C_1{e^{r_1}}^x+C_2{e^{r_2}}^x\\
\Delta =0 &y=(C_1+C_2x){e^{r}}^x\\
\Delta <0 &y=(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x){e^{\alpha}}^x\\
\end{cases}
\]
當\(f(x)=e^{\alpha }Q_n(x)\)時，特解的形式為
\[y^*=e^{\alpha }Q_n(x)x^k
\]
\[\begin{cases}
k =0 &\alpha 不是特徵值\\
k =1 &\alpha 是單根\\
k =2 &\alpha 是二重根\\
\end{cases}
\]
當\(f(x)=e^{\alpha }[Q_m(x)\cos\beta x+Q_n(x)\sin\beta x]\)時，特解的形式為
\[y^*=e^{\alpha }[{Q_l}^{(1)}(x)\cos\beta x+{Q_l}^{(2)}(x)\sin\beta x]x^k
\]
\[\begin{cases}
k =0 &\alpha\pm\beta i 不是特徵值\\
k =1 &\alpha\pm\beta i 是特徵值\\
\end{cases}
\]