以前確實背過，但沒推過。現在恰好在計算幾何類問題中遇見與橢圓相關的題目，也有能力推導公式了，就補充以前沒推導過的過程。
橢圓定義：到兩定點之和為定長的點的軌跡。
樸素的橢圓為兩定點在座標軸上且中點為原點。
於是不妨設這兩個定點為 \((0, -c), (0, c)\) ，不妨設該定長為 \(2b\) 。
於是樸素橢圓的方程為
\[\sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 2a
\]
考慮使用複雜度更低的計算方法。
\[\begin{aligned}
&\sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 2a \\
&\overset{\textbf{移項}}{\Leftrightarrow} \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} = 2a - \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} \\
&\overset{\textbf{兩邊平方}}{\Leftrightarrow} 4 a \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 4 a^{2} - 4cx \quad \underbrace{(2a \geq \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}})}_{\textbf{可以平方的條件}} \\
&\overset{\textbf{兩邊除以}\ 4 a}{\Leftrightarrow} \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = a - \frac{c}{a} x \quad (2a \geq \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}}) \\
&\overset{\textbf{兩邊平方}}{\Leftrightarrow} x^{2} + y^{2} + c^{2} = a^{2} + \frac{c^{2}}{a^{2}} x^{2} \quad (2a \geq \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}},\ a \geq \frac{c}{a} x) \\
&\Leftrightarrow \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2}} x^{2} + y^{2} = a^{2} - c^{2} \quad (2a \geq \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}},\ a \geq \frac{c}{a} x) \\
&\Leftrightarrow \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2}} x^{2} + y^{2} = a^{2} - c^{2} \quad (2a \geq \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}},\ a \geq \frac{c}{a} x) \\
&\overset{\textbf{兩邊除以}\ a^{2} - c^{2}}{\Leftrightarrow} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} = 1 \quad (2a \geq \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}},\ a \geq \frac{c}{a} x) \\
&\overset{\textbf{由橢圓定義的幾何意義}}{\Leftrightarrow} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} = 1 \\
\end{aligned}
\]
容易發現 \(\sqrt{a^{2} - c^{2}}\) 是樸素橢圓在 \(y\) 軸上的軸長，如果設其為 \(b\) ，有
\[\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1
\]
如果這個方程確實是一個橢圓定義的軌跡而非點，則 \(a^{2} > b^{2} > c^{2}\) 是顯然的。
又稱定點為焦點，若焦點在 \(y\) 軸上，變換座標即可。
考慮橢圓可以平移，若平移後橢圓中點為 \((x_0, y_0)\) ，顯然有平移後的樸素橢圓方程
\[\frac{(x - x_0)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_0)^{2}}{b^{2}} = 1
\]
同時橢圓可以繞中點旋轉，這個方程這裡不討論。