常數變易法
考慮以下一階線性微分方程
\[\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=P(x)y+Q(x)
\]
先解齊次方程
\[\begin{aligned}
\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}&=P(x)y\\
\dfrac{\text{d}y}{y}&=P(x)\text{d}x\\
\ln y&=P_1(x)+C\\
y&=C\exp(P_1(x))
\end{aligned}
\]
其中
\[P_1(x)=\int P(x)\text{d}x
\]
根據常數變易法，對於原非齊次方程有
\[y=C(x)\exp(P_1(x))
\]
即將 \(C\) 改為關於 \(x\) 的函式 \(C(x)\)。
將 \(y\) 代回原方程即可解出 \(C(x)\)。
這個方法可以擴充到非線性微分方程。
P6613
考慮以下方程
\[\frac{\text dF(x)}{\text dx} \equiv A(x)\text e^{F(x)-1}+B(x) \pmod{x^n}
\]
設 \(y=F(x)\)，先解齊次方程
\[\begin{aligned}
\dfrac{\text dy}{\text dx}&=A(x)\exp(y-1)\\
\dfrac{\text{d}y}{\exp(y-1)}&=A(x)\text{d}x\\
\exp(1-y)\text{d}y&=A(x)\text{d}x\\
-\exp(1-y)&=A_1(x)-C\\
\exp(1-y)&=C-A_1(x)\\
1-y&=\ln(C-A_1(x))\\
y&=1-\ln(C-A_1(x))\\
y&=1+\ln\dfrac{1}{C-A_1(x)}
\end{aligned}
\]
其中
\[A_1(x)=\int A(x)\text{d}x
\]
根據常數變易法，對於原非齊次方程有
\[\begin{aligned}
y&=1-\ln(C(x)-A_1(x))\\
y&=1+\ln\dfrac{1}{C(x)-A_1(x)}
\end{aligned}
\]
代回原方程
\[\begin{aligned}
\dfrac{\text dy}{\text dx}&=A(x)\exp(y-1)+B(x)\\
-\dfrac{C'(x)-A(x)}{C(x)-A_1(x)}&=\dfrac{A(x)}{C(x)-A_1(x)}+B(x)\\
\dfrac{C'(x)}{C(x)-A_1(x)}&=-B(x)\\
C'(x)&=-B(x)C(x)+A_1(x)B(x)
\end{aligned}
\]
設 \(z=C(x)\)
\[z'=-B(x)z+A_1(x)B(x)
\]
解此方程，求出通解
\[z=C_1(x)\exp(-B_1(x))
\]
其中
\[B_1(x)=\int B(x)\text{d}x
\]
代入得
\[\begin{aligned}
z'&=-B(x)z+A_1(x)B(x)\\
C_1'(x)\exp(-B_1(x))-C_1(x)\exp(-B_1(x))B(x)&=-B(x)C_1(x)\exp(-B_1(x))+A_1(x)B(x)\\
C_1'(x)\exp(-B_1(x))&=A_1(x)B(x)\\
C_1(x)&=\int A_1(x)B(x)\exp(B_1(x))\text{d}x+C
\end{aligned}
\]
繼續回代
\[C(x)=\left(\int A_1(x)B(x)\exp(B_1(x))\text{d}x+C\right)\exp(-B_1(x))
\]
\[\begin{aligned}
F(x)&=1-\ln\left(\left(\int A_1(x)B(x)\exp(B_1(x))\text{d}x+C\right)\exp(-B_1(x))-A_1(x)\right)\\
&=1+B_1(x)-\ln\left(\int A_1(x)B(x)\exp(B_1(x))\text{d}x-A_1(x)\exp(B_1(x))+C\right)
\end{aligned}
\]
當 \(x=0\)，\(F(x)=1\)，故取 \(C=1\)。
注意到
\[B(x)\exp(B_1(x))=\exp(B_1(x))'
\]
以及
\[A_1(x)\exp(B_1(x))'=(A_1(x)\exp(B_1(x)))'-A(x)\exp(B_1(x))
\]
所以
\[F(x)=1+B_1(x)-\ln(1-\int {A(x)\exp(B_1(x))\text{d}x})
\]
直接計算即可。
Code
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
n++;
for(int i=0;i<=n-1;i++){
scanf("%llu",&a[i]);
}
for(int i=0;i<=n-1;i++){
scanf("%llu",&b[i]);
b1[i]=b[i];
}
inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}
ITG(b1,n);
EXP(b1,c,n);
CPY(ans,b1,n);
ans[0]=(ans[0]+1)%mod;
CLR(b1,n);
MUL(a,c,n<<1);
CLR(a+n,n);
ITG(a,n);
a[0]=(1-a[0]+mod)%mod;
for(int i=1;i<=n-1;i++){
a[i]=(mod-a[i])%mod;
}
LN(a,c,n);
DEC(ans,c,n);
for(int i=0;i<=n-1;i++){
printf("%llu ",ans[i]);
}
}