常數變易法求解非齊次線性微分方程

目錄

• 常數變易法求解一階非齊次線性微分方程
• 常數變易法求解二階非齊次線性微分方程
• 例題

常數變易法求解一階非齊次線性微分方程

對於一階非齊次線性微分方程

\[y' + p(x)y = q(x) \]

先用分離變數法求解對應的齊次方程

\[\begin{aligned} & y' + p(x)y = 0 \\ \Rightarrow & y = C e^{- \int p(x)dx} \end{aligned} \]

將 \(C\) 改為 \(C(x)\)，令 \(y = C(x) e^{- \int p(x)dx}\)，代入原非齊次方程得

\[\begin{aligned} & \left[ C'(x) e^{- \int p(x)dx} - p(x) e^{- \int p(x)dx} \right] + p(x) e^{- \int p(x)dx} = q(x) \\ \Rightarrow & C'(x) e^{- \int p(x)dx} = q(x) \\ \Rightarrow & C(x) = \int q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C \end{aligned} \]

所以一階非齊次線性微分方程的通解為

\[y = e^{- \int p(x)dx} \left( \int q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C \right) \]

常數變易法求解二階非齊次線性微分方程

對於二階非齊次線性微分方程

\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \]

設對應齊次方程的兩個線性無關解為 \(y_1,y_2\)，則其通解為

\[y = C_1 y_1 + C_2 y_2（C_1,C_2為任意常數） \]

因此可設非齊次方程的特解為

\[y^* = C_1(x) y_1 + C_2(x) y_2 \]

為確定函式 \(C_1(x),C_2(x)\)，可對上式進行求導得

\[\begin{aligned} (y^*)' &= [C_1'(x) y_1 + C_1(x) y_1'] + [C_2'(x) y_2 + C_2(x) y_2'] \\ &= [C_1'(x) y_1 + C_2'(x) y_2] + [C_1(x) y_1' + C_2(x) y_2'] \end{aligned} \]

接下來對上式再進行一次求導，不過在此之前，為了使得 \(y''\) 中不含 \(C_1''(x),C_2''(x)\)，可令 \(C_1'(x) y_1 + C_2'(x) y_2 = 0\)，現在對上式求導得

\[\begin{aligned} (y^*)'' &= [C_1(x) y_1' + C_2(x) y_2']' \\ &= [C_1'(x) y_1' + C_1(x) y_1''] + [C_2'(x) y_2' + C_2(x) y_2''] \end{aligned} \]

將 \(y,y',y''\) 代入原非齊次方程得

\[\begin{aligned} & [C_1'(x) y_1' + C_1(x) y_1''] + [C_2'(x) y_2' + C_2(x) y_2''] + p(x)[C_1(x) y_1' + C_2(x) y_2'] + q(x) [C_1(x) y_1 + C_2(x) y_2] = f(x) \\ \Rightarrow & C_1(x) [y_1''+p(x)y_1'+q(x)y_1] + C_2(x) [y_2''+p(x)y_2'+q(x)y_2] + [C_1'(x) y_1' + C_2'(x) y_2'] = f(x) \\ \Rightarrow & C_1'(x) y_1' + C_2'(x) y_2' = f(x) \end{aligned} \]

聯立兩個方程

\[\begin{cases} C_1'(x) y_1 + C_2'(x) y_2 = 0 \\ C_1'(x) y_1' + C_2'(x) y_2' = f(x) \\ \end{cases} \]

即可求得 \(C_1'(x),C_2'(x)\)，最後進行積分得到 \(C_1(x),C_2(x)\)。

【注】常數變易法在同濟七版高等數學中有介紹，適用於求解任意二階非齊次常係數線性微分方程（提醒：在考研範圍內，非齊次項的形式是固定的，而非任意形式）。

例題

【例 1】求解微分方程 \(y'' + 3y' + 2y = x^2\)

【解】先求對應齊次通解：\(y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}\)，所以 \(y_1 = e^{-x}, y_2 = e^{-2x}\)，解方程組

\[\begin{cases} C_1'(x) e^{-x} + C_2'(x) e^{-2x} = 0 \\ -C_1'(x) e^{-x} - 2C_2'(x) e^{-2x} = x^2 \\ \end{cases} \]

可求得

\[\begin{cases} C_1'(x) = \begin{vmatrix} 0 & e^{-2x} \\ x^2 & -2e^{-2x} \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} e^{-x} & e^{-2x} \\ -e^{-x} & -2e^{-2x} \end{vmatrix} = \frac{-x^2e^{-2x}}{-e^{-3x}} = x^2 e^x\\ C_2'(x) = \begin{vmatrix} e^{-x} & 0 \\ -e^{-x} & x^2 \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} e^{-x} & e^{-2x} \\ -e^{-x} & -2e^{-2x} \end{vmatrix} = \frac{x^2e^{-x}}{-e^{-3x}} = -x^2 e^{2x} \end{cases} \]

於是

\[\begin{cases} C_1(x) = (x^2-2x+2) e^x\\ C_2(x) = -\frac{1}{4}(2x^2 - 2x + 1) e^{2x} \end{cases} \]

所以特解為

\[\begin{aligned} y^* &= C_1(x) y_1 + C_2(x) y_2 \\ &= (x^2-2x+2) - \frac{1}{4}(2x^2 - 2x + 1) \\ &= \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{7}{4} \end{aligned} \]

【例 2】求解微分方程 \(y'' + 3y' + 2y = \sin x\)

【解】先求對應齊次通解：\(y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}\)，所以 \(y_1 = e^{-x}, y_2 = e^{-2x}\)，解方程組

\[\begin{cases} C_1'(x) e^{-x} + C_2'(x) e^{-2x} = 0 \\ -C_1'(x) e^{-x} - 2C_2'(x) e^{-2x} = \sin x \\ \end{cases} \]

可求得

\[\begin{cases} C_1'(x) = \begin{vmatrix} 0 & e^{-2x} \\ \sin x & -2e^{-2x} \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} e^{-x} & e^{-2x} \\ -e^{-x} & -2e^{-2x} \end{vmatrix} = \frac{e^{-2x}\sin x}{-e^{-3x}} = e^x \sin x\\ C_2'(x) = \begin{vmatrix} e^{-x} & 0 \\ -e^{-x} & \sin x \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} e^{-x} & e^{-2x} \\ -e^{-x} & -2e^{-2x} \end{vmatrix} = \frac{e^{-x}\sin x}{-e^{-3x}} = -e^{2x} \sin x \end{cases} \]

於是

\[\begin{cases} C_1(x) = \frac{1}{2} (\sin x - \cos x) e^x\\ C_2(x) = -\frac{4}{5}(\frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{4} \cos x) e^{2x} \end{cases} \]

所以特解為

\[\begin{aligned} y^* &= C_1(x) y_1 + C_2(x) y_2 \\ &= \frac{1}{2} (\sin x - \cos x) -\frac{4}{5}(\frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{4} \cos x) \\ &= \frac{1}{10} \sin x - \frac{3}{10} \cos x \end{aligned} \]

【例 3】求解微分方程 \(y'' + 4y = \cos 2x\)

【解】先求對應齊次通解：\(y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x\)，所以 \(y_1 = \cos 2x, y_2 = \sin 2x\)，解方程組

\[\begin{cases} C_1'(x) \cos 2x + C_2'(x) \sin 2x = 0 \\ -2C_1'(x) \sin 2x + 2C_2'(x) \cos 2x = \cos 2x \\ \end{cases} \]

可求得

\[\begin{cases} C_1'(x) = \begin{vmatrix} 0 & \sin 2x \\ \cos 2x & 2\cos 2x \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} \cos 2x & \sin 2x \\ -2\sin 2x & 2\cos 2x \end{vmatrix} = -\frac{\sin 2x \cos 2x}{2\cos^2 2x + 2\sin^2 2x} = -\frac{1}{4} \sin 4x \\ C_2'(x) = \begin{vmatrix} \cos 2x & 0 \\ -2\sin 2x & \cos 2x \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} \cos 2x & \sin 2x \\ -2\sin 2x & 2\cos 2x \end{vmatrix} = \frac{\cos^2 2x}{2\cos^2 2x + 2\sin^2 2x} = \frac{1}{4} (\cos 4x + 1) \end{cases} \]

於是

\[\begin{cases} C_1(x) = \frac{1}{16} \cos 4x \\ C_2(x) = \frac{1}{4} x + \frac{1}{16}\sin 4x \end{cases} \]

所以特解為

\[\begin{aligned} y^* &= C_1(x) y_1 + C_2(x) y_2 \\ &= \frac{1}{16} \cos 4x \cos 2x + (\frac{1}{4} x + \frac{1}{16}\sin 4x) \sin 2x \\ &= \frac{1}{16} (\cos 4x \cos 2x + \sin 4x \sin 2x) + \frac{1}{4} x \sin 2x \\ &= \frac{1}{16} \cos 2x + \frac{1}{4} x \sin 2x \end{aligned} \]

由於方程的通解為

\[\begin{aligned} y &= (C_1 + \frac{1}{16}) \cos 2x + C_2 \sin 2x + \frac{1}{4} x \sin 2x \\ &= C_3 \cos 2x + C_2 \sin 2x + \frac{1}{4} x \sin 2x \end{aligned} \]

所以特解應為

\[y^* = \frac{1}{4} x \sin 2x \]

【例 4】求解微分方程 \(y'' - 2y' + y = xe^x\)

【解】先求對應齊次通解：\(y = C_1 e^{x} + C_2 xe^{x}\)，所以 \(y_1 = e^{x}, y_2 = xe^{x}\)，解方程組

\[\begin{cases} C_1'(x) e^{x} + C_2'(x) xe^{x} = 0 \\ C_1'(x) e^{x} + C_2'(x) (x+1)e^{x} = xe^x \\ \end{cases} \]

可求得

\[\begin{cases} C_1'(x) = \begin{vmatrix} 0 & xe^{x} \\ xe^{x} & (x+1)e^{x} \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} e^{x} & xe^{x} \\ e^{x} & (x+1)e^{x} \end{vmatrix} = \frac{-x^2e^{2x}}{e^{2x}} = -x^2 \\ C_2'(x) = \begin{vmatrix} e^{x} & 0 \\ e^{x} & xe^{x} \end{vmatrix} / \begin{vmatrix} e^{x} & xe^{x} \\ e^{x} & (x+1)e^{x} \end{vmatrix} = \frac{xe^{2x}}{e^{2x}} = x \end{cases} \]

於是

\[\begin{cases} C_1(x) = -\frac{1}{3} x^3 \\ C_2(x) = \frac{1}{2} x^2 \end{cases} \]

所以特解為

\[\begin{aligned} y^* &= C_1(x) y_1 + C_2(x) y_2 \\ &= -\frac{1}{3} x^3 \cdot e^{x} + \frac{1}{2} x^2 \cdot xe^{x} \\ &= \frac{1}{6} x^3 e^{x} \end{aligned} \]