【scipy 基礎】--積分和微分方程

wang_yb發表於2023-11-05

對於手工計算來說，積分計算是非常困難的，對於一些簡單的函式，我們可以直接透過已知的積分公式來求解，但在更多的情況下，原函式並沒有簡單的表示式，因此確定積分的反函式變得非常困難。

另外，相對於微分運算來說，積分運算則具有更多的多樣性，包括不同的積分方法（如換元積分法、分部積分法等）和積分技巧，需要根據具體的函式形式選擇合適的方法，這增加了積分運算的複雜性。
而微分運算有一條基本的規則，即導數運算具有線性性質，可以透過求導法則來簡化計算。

Scipy庫的積分子模組為我們提供了便捷的積分和微分方程計算介面。
利用Scipy，進行數學或科學研究時，可以把更多的時間花在原理和推導上，計算過程交由Scipy去處理。

1. 主要功能

Scipy的積分模組主要用於進行數學方程的求解和過程控制。
該模組提供了一組函式，可以用於求解一元和多元函式的導數、積分、二階導數和偏導數等。
此外，該模組還提供了一些用於過程控制和最佳化的函式。

此模組的函式主要分為以下幾類：

  1. 針對函式物件的積分
  2. 針對固定樣本的積分
  3. 常微分方程

總之，scipy.integrate模組提供了豐富的函式和演算法，用於解決各種數學問題和過程控制問題。
下面透過一些示例來了解其使用方法。

2. 積分運算

2.1. 一重積分

比如計算曲線 \(y = e^{-x}\)在 \(-0.75 \leqslant x \leqslant 0.5\)範圍內的面積。
image.png

也就是計算積分：\(\int_{-0.75}^{0.5}e^{-x}dx\)

from scipy.integrate import quad
y = lambda x: np.exp(-x)
integral, integral_err = quad(y, -0.75, 0.5)

print("面積為：{}".format(integral))
# 執行結果
面積為：1.5104693569000414

2.2. 二重積分

所謂二重積分，就是積分變數有兩個，依次在兩個變數上積分得出最終的結果。
比如，對於函式：\(z = x^2 + y^2\)，相當於如下的三維曲面。
image.png
計算上面的曲面在 \(-2 \leqslant x \leqslant 2\)且 \(-1 \leqslant y \leqslant 1\)情況下，與XY平面所包圍的體積。
即：\(\int_{-2}^2\int_{-1}^1(x^2+y^2)dydx\)

from scipy.integrate import dblquad

integrand = lambda y, x: x**2 + y**2
integral, integral_error = dblquad(integrand, -2, 2, -1, 1)

print("體積為：{}".format(integral))
# 執行結果
體積為：13.333333333333334

這個示例中的曲面在X平面和Y平面上是對稱的，計算二重積分時，先積分x，還是先積分y，結果是一樣的。
也就是：\(\int_{-2}^2\int_{-1}^1(x^2+y^2)dydx = \int_{-2}^2\int_{-1}^1(x^2+y^2)dxdy\)

其他的曲面不一定是對稱的，所以二重積分時一定要注意積分的順序。

3. 常微分方程求解

常微分方程是一類以未知函式和其導數為主要研究物件的數學方程，適合描述不斷變化的場景。

3.1. 一元常微分方程

比如計算物體速度的時候，如果加速度恆定，根據牛頓運動定律，很容易就能計算出速度和時間的關係。
但是若加速度也會不斷變化的話，如何確定速度和時間的關係呢？

比如假設加速度隨速度和時間變化的關係是： \(a = v+3t\)
因為加速度也可以表示為：\(a = \frac{dv}{dt}\)，也就是速度對時間的微分，即：\(a = v'\)。
這樣，就得到：\(a = \frac{dv}{dt} = v' = v+3t\)，其中，\(v' = v+3t\)就是一個常微分方程。
假設時間t為0時，速度v也為0，則得到：\(v'-v-3t=0, v(0)=0\)

下面利用Scipy來求解這個一元常微分方程。

from scipy.integrate import odeint

# v是速度，t是時間
def dvdt(v, t):
    return v + 3*t

v0 = 0
t = np.linspace(0, 1, 100)

# 結果res是 N行1列的二維陣列（因為是一元方程）
res = odeint(dvdt, v0, t)

# 轉置之後第一行就是各個時間點的速度
res_v = res.T[0]

# 繪製速度和時間的關係
plt.plot(t, res_v)
plt.show()

image.png
圖中曲線的斜率就是加速度，可以看出加速度是隨時間不斷變大的。

3.2. 二元常微分方程組

對於二元常微分方程組，同樣也可以用 scipy 來求解。
比如如下方程組：
\(\begin{align*} & y_1' = y_1 + y_2^2 - 5x \quad & y_1(0)=0\\ & y_2' = 2y_1 + y_2^3 + sin(x) \quad & y_2(0)=0 \end{align*}\)

求解方法：

from scipy.integrate import odeint

# 建立方程組
def dSdx(S, x):
    y1, y2 = S
    return [
        y1 + y2**2 - 5 * x,
        2 * y1 + y2**3 + np.sin(x),
    ]

# 方程組初始值
y1_0 = 0
y2_0 = 0
S_0 = (y1_0, y2_0)

x = np.linspace(0, 1, 100)
sol = odeint(dSdx, S_0, x)

y1_sol = sol.T[0]
y2_sol = sol.T[1]

# 分別繪製y1,y2和x的關係
plt.plot(x, y1_sol, label="y1")
plt.plot(x, y2_sol, label="y2")
plt.legend()
plt.show()

image.png

4. 總結

積分和常微分方程算是應用非常廣，但手工計算非常麻煩的兩種數學工具，
在學校學習高等數學的時候應該沒少吃過這兩種計算的苦。

有了Scipy的幫助，則可以擺脫這類複雜計算帶來的痛苦，讓我們可以專注於建立解決問題的方程。

相關文章