定義
\[\int_{a}^{b}f(x)dx
\]
表示 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 內的影像與 \(x\) 軸圍成封閉圖形的面積（這樣說是不嚴謹的，實際上還要包括 \(y=a,y=b\) ）.
如
\[\int_{0}^{3}2dx=2\times (3-0)=6
\]
表示函式 \(f(x)=2\) 與 \(y=0,y=3,x\) 軸圍成的圖形面積為 \(6\).
積分符號用來表示 “某段區間內連續不斷的加和” 這樣的概念，不一定非得是面積. 只不過面積是長乘寬，當寬無窮小時（即 \(dx\)），對應的長即為 \(f(x)\)，面積為 \(f(x)dx\).
基本定理
令 \(f(x)=\frac{d}{dx}g(x)\)，則
\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}\frac{d}{dx}g(x)dx=\int_{a}^{b}dg(x)
\]
實際上，它告訴我們的是 “將 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 的微小變化加和”，即：
\[\int_{a}^{b}g'(x)dx=g(b)-g(a)
\]
根據基本定理，我們要求一個函式 \(f(x)\) 的積分，重在知道一個 \(g(x)\)，使得 \(g'(x)=f(x)\)，因為對於任意合適的 \(g(x)\)，\([g(x)+c]'=f(x)\)，所以稱 \(g(x)+c\) 為 \(f(x)\) 的不定積分，其中 \(c\in R\).
比如我們需要求出
\[\int_{a}^{b}x^{2}dx
\]
首先我們需要知道 \(x^{2}\) 的最簡單的不定積分應為 \(\frac{1}{3}x^{3}\)，因為 \((\frac{1}{3}x^{3})'=x^{2}\)，則，
\[\int_{a}^{b}x^{2}dx=g(b)-g(a)=\frac{1}{3}(b^{3}-a^{3})
\]
算術定理
1
\[\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx
\]
2
\[\int_{a}^{b}[kf(x)]dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx
\]
3
\[\int_{a}^{b}[f(x)g(x)]'dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)
\]
\[\int_{a}^{b}[f'(x)g(x)+f(x)g'(x)]dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)
\]
根據 1 有：
\[\int_{a}^{b}[f'(x)g(x)]+\int_{a}^{b}[f(x)g'(x)]dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)
\]
移項：
\[\int_{a}^{b}[f'(x)g(x)]=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_{a}^{b}[f(x)g'(x)]dx
\]
換元法
\[d[F(u)]=d[F(\phi(x)]=f[\phi(x)]\phi'(x)dx\rightarrow \int f[\phi(x)]\phi'(x)dx = F[\phi(x)] + C = [\int f(u)du]_{u=\phi(x)}
\]
\[\int f(x) dx = [\int f[\phi(t)]\phi'(t)dt]_{t = \phi^{-1}(x)}
\]
逆基本定理
\[\frac{d}{dx}[\int_{a}^{x}f'(x)dx]=\frac{d}{dx}[\int_{a}^{x+dx}f'(x)dx-\int_{a}^{x}f'(x)dx]=f(x)
\]