微積分小感——3.簡單積分

微積分小感_{——3.簡單積分}

所需的前置知識：
1）函式的概念
2）實數理論
3）極限理論（第0章）
4）導數與微分（第1章）
5）微分學基本定理（第2章）

§1.定積分

—1.定積分的定義

​ 定積分的發明源於對曲邊形面積的研究。我們先看一個簡單的例子：

求二次函式 \(f(x)=x^2\) 與直線 \(x=0,x=1\) 以及 \(x\) 軸圍成的曲邊形的面積 \(S\) 。

初看令人束手無策。對於一個素昧平生的新問題，我們還是要拿出微積分學的初心——“用有限逼近無限，用離散逼近連續”。最簡單好求面積的圖形是什麼？矩形。那麼，我們不妨將這圖形切割成矩形。將區間 \([0,1]\) 等分為 \(n\) 份，以每份的右端點的函式值為高，計算出面積和：

\[S_n=\sum_{i=1}^{n}{f(\frac{i}{n})\cdot\frac{1}{n}} =\sum_{i=1}^{n}{\frac{i^2}{n^3}} =\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n}{i^2} =\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2} \]

當 \(n\to\infin\) 時，\(S_n\) 趨於 \(S\) ，也就是：

\[S=\lim_{n\to\infin}{S_n} =\lim_{n\to\infin}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right)} =\frac{1}{3} \]

得出結論 \(S=\frac{1}{3}\) 。

​ 更一般的，對於求函式 \(f(x)\) 與直線 \(x=a,x=b\) 以及 \(x\) 軸圍成的曲邊形的面積，我們如法炮製。首先從小到大取閉區間 \([a,b]\) 內一定數量的點 \(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\) ，取點可以不均勻（這在極限意義下都是無關緊要的），然後將兩點之間的距離 \(\Delta x_i=x_{i}-x_{i-1}\ (1\leqslant i\leqslant n)\) 作為矩形的底邊。對每一個矩形底邊 \(\Delta x_i\) ，在區間 \([x_{i-1},x_i]\) 內取一點 \(\xi_i\) ，並以這一點的函式值 \(f(\xi_i)\) 作為矩形的高，算出所有矩形面積之和：

\[S_n=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i} \]

然後取極限。注意到由於是不一定均勻的取點，單純令 \(n\to\infin\) 是不能達到逼近曲邊形面積的效果的（例如取區間 \([a,b]\) 的 \(1/2,1/4,1/8,\cdots,1/2^n\) 處），我們應令 \(\lambda=\max\{\Delta x_i\}\to 0\) ，也就是所有的底邊長度的最大值趨於零，才能得到正確結果：

\[S=\lim_{\lambda\to0}{S_n}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}} \]

等式最右邊就是定積分的定義式[^可積性]：

\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}} \]

形象地看，定積分的符號就是將 \(S\) 拉長成 \(\int\) ， \(f(\xi_i)\) 寫成 \(f(x)\) ， \(\Delta x\) 寫成 \(\text{d}x\) ，並標上區間左右端點得到的。定積分是因其結果為定數而得名的。

附註：
此處的 \(\text{d}x\) 在初期可以理解幾何詮釋中矩形的無窮小的底邊，但它的實際作用是說明積分的變數。這要到後面的分部積分法和換元積分法的時候才會體現。

—2.定積分的性質

​ 如上定積分的定義侷限於 \(a<b\) 的情況，簡單粗暴的補充：

\[\int_a^a{f(x)\text{d}x}=0 \quad, \int_b^a{f(x)\text{d}x}=-\int_a^b{f(x)\text{d}x} \]

就可以對任意的 \(a,b\) 做定積分了。

​ 定積分滿足如下顯然的（所謂證明不過是套定義式罷了）運演算法則：

\((ⅰ)\quad\) 加減法則：\(\int_a^b{(f(x)\pm g(x))\text{d}x}=\int_a^b{f(x)\text{d}x}\pm\int_a^b{g(x)\text{d}x} \)
\((ⅱ)\quad\) 係數法則：\(\int_a^b{kf(x)\text{d}x}=k\int_a^b{f(x)\text{d}x}\) （ \(k\) 為常數）
\((ⅲ)\quad\) 連線法則：\(\int_a^b{f(x)\text{d}x}+\int_b^c{f(x)\text{d}x}=\int_a^c{f(x)\text{d}x}\)

​ 或許你已經準備計算一些常見函式的定積分了，但是……這個定義式幾乎沒有任何用處——絕大多數函式的求和是沒辦法計算的。別急，插個題外話，一切便豁然開朗。

§2.不定積分

—1.不定積分的定義

​ 求導是一種將函式變為另一個函式的運算（這被稱為“運算元”），如同定義了加法之後便要定義它的逆運算——減法，我們定義如下的求導的逆運算：

若兩函式 \(F(x),f(x)\) 滿足 \(F'(x)=f(x)\) ，就稱：

\[\int{f(x)\text{d}x}=F(x)+C \]

其中 \(C\) 為任意常數，此運算稱為對 \(f(x)\) 的不定積分， \(F(x)\) 稱為 \(f(x)\) 的原函式。

常數 \(C\) 的存在，是由於常數不會影響求導結果。正因如此，不定積分的結果不是一個函式，而是一個函式集合 \(\mathbb{F}=\{F(x)+C | C\in\mathbb{R}\}\) ，這也就是其被稱為“不定”積分的緣故。

​ 出於嚴謹，我們要檢驗一下不定積分的完備性，也就是不會出現 \(G'(x)=f(x)\) 且 \(G'(x)\notin\mathbb{F}\) ：

證明： \(F'(x)=G'(x)\) 當且僅當 \(F(x)-G(x)\) 為常數。

• 由前推後：令 \(\phi(x)=F(x)-G(x)\) ，則 \(\phi'(x)=F'(x)-G'(x)=0\) ，由【第2章 §2 —1. 定理零】，\(\phi(x)\) 為常函式，得證。

• 由後推前：顯然。

於是我們完備地得到了不定積分的定義。

​ 根據不定積分的定義，有顯然的恆等式：

\[\int{f'(x)\text{d}x}=f(x)+C \]

我們把函式 \(y=f(x)\) 的導數寫成微分之比 \(y'=\cfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\) 的形式，自然地約掉 \(\text{d}x\) 得到：

\[\int{y'\text{d}x}=\int{\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\text{d}x}=\int{\text{d}y}=y+C \]

於是，我們可以理解為： \(\int\) 和 \(\text{d}\) 是一對互逆運算！^[1]

​ 不定積分的相加和乘以係數有如下顯然的運演算法則：

對於函式 \(u=f(x)\) ，\(v=g(x)\) ：

​ \((ⅰ)\quad\) 加減法則： \(\int{(u \pm v)\text{d}x}=\int{u}\text{d}x \pm \int{v\text{d}x}\)
​ \((ⅱ)\quad\) 係數法則： \(\int{(k\cdot u)\text{d}x}=k\cdot\int{u\text{d}x}\) （ \(k\) 為常數）

但是不定積分的乘法和函式巢狀法則則涉及複雜的技巧（以至於它們甚至失掉了“乘法”和“巢狀”這兩個基本的名字，改為了“分部積分法”和“換元積分法”），我們會專闢一節加以討論，此處且按下不表。

—2.微積分基本定理

​ 讀到此處你一定會發現一件怪事：定積分和不定積分的定義迥然不同，但它們卻有極其形似的名稱和記號。這一切都源於如下大名鼎鼎的微積分基本定理（又名牛頓-萊布尼茨定理）：

若 \(F'(x)=f(x)\) ，則：

\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=F(b)-F(a) \]

我們有時記等號右側為 \(F(x)|_a^b\) ，如同時記 \(F(x)=\int{f(x)\text{d}x}\) ，就能得到如下的優美式子：

\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=\left.\int{f(x)\text{d}x}\right|_a^b \]

​ 是不是令人折服？現在運用拉格朗日中值定理證明之：

證明：若 \(F'(x)=f(x)\) ，則：

\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=F(b)-F(a) \]

擺出定積分的定義式：

\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}} \]

對於任意一段 \([x_{i-1},x_i]\) ，由拉格朗日中值定理^[2]，有：

\[F(x_i)-F(x_{i-1})=f(c_i)\Delta x_i\qquad c_i\in(x_{i-1},x_i) \]

由於 \(\xi_i\) 的選取是任意的，不妨令 \(\xi_i=c_i\) ，那麼：

\[\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}= \sum_{i=1}^{n}{f(c_i)\Delta x_i}= \sum_{i=1}^{n}{(F(x_i)-F(x_{i-1}))}= F(x_n)-F(x_0) \]

所以：

\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}} =\lim_{\lambda\to0}{(F(x_n)-F(x_0))}=F(b)-F(a) \]

命題得證。

​ 有了微積分基本定理，我們就自然地搭建起了微分和積分的橋樑。從現代的角度，這定理描述的是定積分和不定積分的關係。但在微積分草創之時，其意義則十分重大：從幾何角度，“積分”就是求曲邊圖形面積，“微分”就是求曲線斜率；從物理角度，“積分”就是求連續變化系統的巨集觀狀態，“微分”就是求連續變化系統的微觀改變；微積分基本定理就是在說，以上這兩對操作分別互逆！

​ 有了微積分基本定理之後，我們就可以專心於“如何求不定積分”這一問題，定積分的內容將很少以重要的形式再出現了。

—3.微積分基本定理的相關結論和例子

​ 如下結論從證明的路線上來說，理應出現再微積分基本定理前邊（至少是同時），但是從微積分基本定理回望它們會顯得更容易理解。

1. 積分中值定理

   對於區間 \([a,b]\) 上的函式 \(f(x)\) ，存在 \(c\in[a,b]\) 使得：

   \[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=f(c)(b-a) \]

   令 \(F(x)=\int{f(x)\text{d}x}\) ，則由微積分基本定理結合拉格朗日中值定理：

   \[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=F(b)-F(a)=F'(c)(b-a)=f(c)(b-a) \]

2. 原函式存在定理

   對於函式 \(f(x)\) ，如下的函式 \(F(x)\) 是其原函式：

   \[F(x)=\int_a^x{f(t)\text{d}t} \]

   給定自變數增量 \(\Delta x\) ，則函式 \(F(x)\) 獲得增量：

   \[\Delta F=F(x+\Delta x)-F(x) =\int_a^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}-\int_a^x{f(t)\text{d}t} =\int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t} \]

   根據積分的定義式，記 \(f(x)\) 在區間 \([x,x+\Delta x]\) 上的最大最小值分別為 \(M(f),m(f)\) ，有：

   \[m(f)\Delta x\leqslant \int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}\leqslant M(f)\Delta x \]

   當 \(\Delta x\to 0\) 時，有 \(\lim m(f)=\lim M(f)=f(x)\) ，於是由夾逼定理：

   \[\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{1}{\Delta x}\int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}}=f(x) \]

   套用導數的定義：

   \[F'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\Delta F}{\Delta x}} =\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{1}{\Delta x}\int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}} =f(x) \]

   意既 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的原函式。

   附註：
   這一定理是微積分基本定理的另一種證法（抑或另一種形式）。許多求導與積分的結合，或這極限與積分的結合，往往可使用這一定理。

​ 下面舉一些簡單但有趣的積分計算的例子：

1. \(\sin x\) 下的面積

計算函式 \(\sin x\) 與 \(x\) 軸在區間 \([0,\pi]\) 上圍成的面積 \(S\) 。

根據定積分的幾何意義，以及由 \((\cos x)'=-\sin x\) ，有：

\[S=\int_0^\pi {\sin x\text{d}x}=(-\cos x)\Big|_0^\pi=\cos 0-\cos\pi=2 \]

2. 兩個函式所夾的面積

   如圖（檔案 §2-3-2.ggb ）計算由 \(f:y=x^2,g:y=\sqrt{x+1},x=-1,x=2\) 圍成的陰影面積 \(S\) 。

   

   首先算出 \(f,g\) 兩函式的原函式（不妨令積分常數 \(C=0\) ）：

   \[F(x)=\int{f(x)\text{d}x}=\frac{1}{3}x^3\quad,\quad G(x)=\int{g(x)\text{d}x}=\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} \]

   我們將如圖的陰影分為三塊：以 \(A,B,C\) 為頂點的曲邊三角狀面積 \(S_1\) ，以 \(C,D\) 為頂點的葉子狀面積 \(S_2\) ，以 \(D,E,F\) 為頂點的曲邊三角狀面積 \(S_3\) 。整個積分割槽間 \([-1,2]\) 相應分為三段 \([-1,x_C],[x_C,x_D],[x_D,2]\) （先不解出 \(C,D\) 的座標），分別算出：

   \[S_1=\int_{-1}^{x_C}{(f(x)-g(x))\text{d}x}=(F(x)-G(x))\Big|_{-1}^{x_C} =F(x_C)-G(x_C)-F(-1)+G(-1) \\ S_2=\int_{x_C}^{x_D}{(g(x)-f(x))\text{d}x}=(G(x)-F(x))\Big|_{x_C}^{x_D} =G(x_D)-F(x_D)-G(x_C)+F(x_C) \\ S_3=\int_{x_D}^{2}{(f(x)-g(x))\text{d}x}=(F(x)-G(x))\Big|_{x_D}^{2} =F(2)-G(2)-F(x_D)+G(x_D) \qquad \]

   將上三項相加，帶入 \(x_C \approx -0.724,x_D \approx 1.221\) ，得到 \(S=S_1+S_2+S_3 \approx 2.29\) 。

3. 運用積分夾逼

   求證：\(18\leqslant\displaystyle\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}\leqslant 19\)

   由於下面兩幅圖（檔案 §2-3-3.ggb ），其中橙色和藍色部分是原和\(-1\) ，青色和黃色的部分是函式 \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\) 在區間 \([2,100]\) 和 \([1,99]\) 上分別做的積分，

   

   根據影像有 \(S_{青}<S_{藍}=S_{橙}<S_{黃}\) ，因而我們可以得到：

   \[2\sqrt{100}-2\sqrt{2}=\int_{2}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x}< \sum_{x=2}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}} <\int_{1}^{99}{\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x}=\sqrt{99}-\sqrt{1} \]

   因此：

   \[18<2\sqrt{100}-2\sqrt{2}+1<\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}<2\sqrt{99}-2\sqrt{1}+1<19 \]

   附註：
   此題當然有初等解法。注意到：

   \[\sqrt{x+1}+\sqrt{x}>2\sqrt{x}>\sqrt{x}+\sqrt{x-1} \\ \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}<\frac{1}{2\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}} \\ 2\sqrt{x+1}-2\sqrt{x}<\frac{1}{\sqrt{x}}<2\sqrt{x}-2\sqrt{x-1} \]

   因而原和滿足（此處將 \(x=1\) 單列是為了夾逼的緊度）：

   \[1+\sum_{x=2}^{100}{(2\sqrt{x+1}-2\sqrt{x})}<\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}<1+\sum_{x=2}^{100}{(2\sqrt{x}-2\sqrt{x-1})} \\ 18<2\sqrt{100}-2\sqrt{2}+1<\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}<2\sqrt{99}-2\sqrt{1}+1<19 \]

   然而認識到這一不等式，上兩圖的積分影像也是不可或缺的。

§3.特殊積分法

—1.分部、換元積分法

​ 根據已經熟知的求導法則：

\[(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\ (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x) \]

有對應的積分恆等式：

\[\int{f'(x)g(x)\text{d}x}=f(x)g(x)-\int{f(x)g'(x)\text{d}x} \\ f(g(x))+C=\int{f'(g(x))g'(x)\text{d}x} \]

第一個式子被稱為“分部積分法”。而第二個式子常寫作

\[\int{f(u)\text{d}u}=\int{f(u(x))u'(x)\text{d}x} \]

此時它起到將 \(u\) 換為 \(x\) 的作用，被稱為“換元積分法”。如上兩法的微分形式如下：

\[\int{u\text{d}v}=uv-\int{v\text{d}u} \\ \int{\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\text{d}x}=\int{\frac{\text{d}y}{\text{d}u}\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\text{d}x} \]

​ 此兩法的詳細內容會在下一章討論，此處先以兩個例子感受一二：

1. \(\int{\sec x\text{d}x}\)

   令 \(t=\sin x\) ，則 \(\text{d}x=\frac{1}{\cos x}\text{d}t\) ，代入原式：

   \[\int{\sec x\text{d}x} =\int{\frac{1}{\cos x}\text{d}x} =\int{\frac{1}{\cos^2 x}\text{d}t} =\int{\frac{1}{1-t^2}\text{d}t} \]

   對於這個分式，採取裂項的手段處理（這也會在下一章詳細討論）：

   \[\int{\frac{1}{1-t^2}\text{d}t} =\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1-t}\text{d}t}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+t}\text{d}t} =\frac{1}{2}\ln{(1-t)}+\frac{1}{2}\ln{(1+t)}+C \]

   由於 \(t=\sin{x}\in[-1,1]\) ，故 \(\ln\) 內不必帶絕對值。回代 \(t=\sin x\) ，並化簡：

   \[\frac{1}{2}\ln{(1-t)}+\frac{1}{2}\ln{(1+t)}+C =\ln{\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}}+C =\ln{\vert\tan x+\sec x\rvert}+C \]

   得到答案：

   \[\int{\sec x\text{d}x}=\ln{\vert\tan x+\sec x\rvert}+C \]

   附註：
   另有一極巧妙的做法：

   \[\begin{align*} \int{\sec x\text{d}x} & =\int{\frac{\sec^2 x+\tan x\sec x}{\sec x+\tan x}\text{d}x} \\ & =\int{\ln'(\sec x+\tan x)\cdot(\sec x+\tan x)'\text{d}x} \\ & =\ln{\vert\tan x+\sec x\rvert}+C \end{align*} \]

   套用 \(f(g(x))+C=\int{f'(g(x))g'(x)\text{d}x}\) 。

2. \(\int{e^x\sin x\text{d}x}\)

   令 \(u=e^x,v=\sin x\) ，套用兩次分部積分法：

   \[\begin{align*} \int{e^x\sin x\text{d}x} &=e^x\sin x-\int{e^x\cos x\text{d}x} \\ & =e^x\sin x-\left(e^x\cos x-\int{e^x(-\sin x)\text{d}x}\right) \\ & =e^x(\sin x+\cos x)-\int{e^x\sin x\text{d}x} \end{align*} \]

   於是得出：

   \[\int{e^x\sin x\text{d}x}=\frac{e^x}{2}(\sin x+\cos x) \]

   附註：此類形如 \(e^xf(x)\) 的積分常用分部積分法，通常最終會在等號右側重現原積分。

—2.反常積分

​ 反常積分，是指在積分割槽間內被積函式有未定義點或無窮點的定積分，這些點被稱為“瑕點”。例如

\[\int_{-\infin}^{+\infin}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x} \]

就有 \(-\infin,-1,+1,+\infin\) 四個瑕點。

​ 總可以通過拆分，將有多個瑕點的反常積分拆分成僅含有一個瑕點，並且瑕點位於積分上下界的反常積分。既然函式在瑕點處無定義，容易想到的處理方法是通過極限逼近。於是得到反常積分的定義（以下的 \(c\) 皆是函式無定義的點）：

\[\begin{align*} & \int_a^c{f(x)\text{d}x}=\lim_{t\to c}{\int_a^t{f(x)\text{d}x}} \qquad(t\in[a,c)) \\ & \int_c^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{t\to c}{\int_t^b{f(x)\text{d}x}} \qquad(t\in(c,b]) \\ & \int_a^{+\infin}{f(x)\text{d}x}=\lim_{t\to +\infin}{\int_a^t{f(x)\text{d}x}} \\ & \int_{-\infin}^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{t\to -\infin}{\int_t^b{f(x)\text{d}x}} \end{align*} \]

​ 我們嘗試求一下本節開頭的積分。有些初學者在可能會做如下論斷：

由於被積函式 \(\cfrac{x}{x^2-1}\) 是奇函式，所以

\[\begin{align*} \int_{-\infin}^{+\infin}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x} & =\lim_{t\to+\infin}{\left(\int_{-t}^{0}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}+\int_{0}^{t}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}\right)} \\ & =\lim_{t\to+\infin}{\left(\int_{0}^{t}{\frac{-x}{x^2-1}\text{d}x}+\int_{0}^{t}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}\right)}=0 \end{align*} \]

如此做的錯誤在於試圖僅用一個字母解決兩個極限。正確的做法是先算出不定積分：

\[\int{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x} =\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}\text{d}x}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x+1}\text{d}x} =\frac{1}{2}(\ln\lvert x-1\rvert+\ln\lvert x+1\rvert)+C \]

然後老老實實按定義：

\[\begin{align*} \int_{-\infin}^{+\infin}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x} & =\lim_{a\to-\infin}{\int_a^{-2}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} +\lim_{b\to-1}{\int_{-2}^b{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} \\ & +\lim_{c\to-1}{\int_c^0{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} + \lim_{d\to1}{\int_0^d{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}}\\ & +\lim_{p\to1}{\int_p^2{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} +\lim_{q\to+\infin}{\int_2^q{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} \end{align*} \]

首先取出第一個積分：

\[\begin{align*} \lim_{a\to-\infin}{\int_a^{-2}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} &=\lim_{a\to-\infin}{\frac{1}{2}(\ln\lvert x-1\rvert+\ln\lvert x+1\rvert)}\Big|_{a}^{-2} \\ &=\lim_{a\to-\infin}{\frac{1}{2}(\ln3+\ln1-\ln(1-a)-\ln(-1-a))} \\ & =-\infin \end{align*} \]

依次計算剩餘積分，得出的結果分別是 \(-\infin,+\infin,-\infin,\infin,\infin\) ，這些無窮互不關聯，於是原積分的結果是一個不存在的值。

—3.體積、弧長、表面積積分

​ 所謂“面動成體”，積分給予了我們強大的計算面積的工具，那接下來自然就可以開始體積的計算。我們要解決的是稱為“旋轉體”的立體的體積。對於一個定義在區間 \([a,b]\) 上的函式 \(f(x)\) ，我們將它與 \(x\) 軸、直線 \(x=a,x=b\) 圍成的面積繞 \(x\) 軸旋轉一週，求得到的立體的體積。

​ 回到積分定義的本源，我們對曲邊形的處理方法是將其分割成多個矩形小條，累加來近似。如果我們將這個矩形組成的近似物繞 \(x\) 軸旋轉一週，則可以得到一組圓盤，每個圓盤的半徑為矩形的高，也就是這一區間內某點的函式值，高為矩形的寬。因此，旋轉體就可以橫截成多個圓盤，累加來近似。

​ 將思路落實成式子。首先分割區間 \([a,b]\) 為點 \(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\) ，然後將每兩點之間的距離 \(\Delta x_i=x_{i}-x_{i-1}\ (1\leqslant i\leqslant n)\) 作為圓盤的厚度，同時在每個區間 \([x_{i-1},x_i]\) 內取一點 \(\xi_i\) ，並以這一點的函式值 \(f(\xi_i)\) 作為圓盤的半徑，算出所有圓盤體積之和：

\[V_n=\sum_{i=1}^{n}{\pi (f(\xi_i))^2\Delta x_i} \]

仿照積分定義的那個極限：

\[V=\lim_{\lambda\to0}{V_n}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{\pi (f(\xi_i))^2\Delta x_i}}=\int_a^b{\pi(f(x))^2\text{d}x} \]

​ 讓我們以一個例項練手

求半徑為 \(r\) 的球的體積。

球由半圓旋轉而成。半徑為 \(r\) 的半圓對應函式

\[y=\sqrt{r^2-x^2} \qquad(-r\leqslant x\leqslant r) \]

套用旋轉體體積公式：

\[V=\int_{-r}^r{(\sqrt{r^2-x^2})^2\text{d}x} =\int_{-r}^{r}{(r^2-x^2)\text{d}x} =\left(r^2x-\frac{1}{3}x^3\right)\Big|_{-r}^r=\frac{4\pi}{3}r^3 \]

就是我們熟悉的球的體積公式。如下圖（檔案 §3-3.ggb ，藍色為球，綠色為推導過程中的圓盤）：

​ 除了繞 \(x\) 軸旋轉，還可以繞 \(y\) 軸旋轉。此時的函式 \(f(x)\) 與 \(x\) 軸、直線 \(x=a,x=b\) 圍成的面積旋轉所得的立體，就可以如洋蔥一般分割成數層柱殼，其中第 \(i\) 層的體積為 \(\nu_i=f(x_i)\pi(x_{i+1}^2-x_i^2)\) 。若直接將其累加套入極限，是無法整理成積分的形式的。我們可將其近似為以內層圓周長 \(2\pi x_i\) 為長、柱殼厚度 \(\Delta x_i\) 為寬、柱殼高度 \(f(\xi_i)\) 為高的長方體，其體積為 \(v_i=2\pi x_i \cdot\Delta x_i \cdot f(\xi_i)\) 。將其累加：

\[V_n=\sum_{i=1}^{n}{2\pi x_i f(\xi_i)\Delta x_i} \]

仿照積分定義的那個極限：

\[V=\lim_{\lambda\to0}{V_n}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{2\pi x_i f(\xi_i)\Delta x_i}}=\int_a^b{2\pi xf(x)\text{d}x} \]

​ 旋轉體當然還可以由繞非 \(x,y\) 軸的軸旋轉得到，統一的處理方法是將其變換為座標軸之後再積分。

​ 積分的作用還可擴充到一維領域——求曲線弧長。若要求函式 \(y=f(x)\) 再閉區間 \([a,b]\) 內的函式影像曲線的長度，首先分割區間 \([a,b]\) 為點 \(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\) ，然後算出每兩點之間對應的函式影像上的點之間的距離：

\[l_i=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2} =\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i \]

將這些距離累加並求極限：

\[L=\lim_{\lambda\to 0}{L_n} =\lim_{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i}} \]

注意到當 \(\lambda\to 0\) 時， \(\Delta x_i\to 0\) ，則根據導數的定義有 \(\cfrac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\sim f'(x)\) ，於是：

\[L=\lim_{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i}} =\int_a^b{\sqrt{1+(f'(x))^2}\text{d}x} \]

​ 我們嘗試根據這個式子求圓的周長：

半徑為 \(r\) 的半圓對應函式 \(f(x)=\sqrt{r^2-x^2}\) ，則

\[f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}} \]

套用弧長的公式：

\[L=\int_{-r}^r{\sqrt{1+\left(-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)^2}\text{d}x} =\int_{-r}^r{\frac{\text{d}x}{\sqrt{r^2-x^2}}} \]

換元 \(x=r\sin t\) ，則 \(\text{d}x=r\cos t\text{d}t\) ，積分下限 \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) （注意定積分換元時要一併替換積分割槽間），原積分變為 （此區間內 \(\cos t\geqslant 0\) ，無需討論符號）：

\[L=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{r\cos t\text{d}t}{\sqrt{r^2-(r\sin t)^2}}}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{r\text{d}t} =rt\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\pi r \]

因此圓的周長 \(C=2L=2\pi r\) 。

​ 將曲線繞著軸旋轉，就可以得到旋轉曲面。讀者可仿照求旋轉體體積，自行推導如下兩個繞 \(x,y\) 軸旋轉得到旋轉曲面的表面積：

\[x\text{軸}:\ \ S=\int_a^b{2\pi f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\text{d}x} \\ y\text{軸}:\ \ S=\int_a^b{2\pi x\sqrt{1+(f'(x))^2}\text{d}x} \quad \]

§4.積分的例項

—1.萬有引力勢能

​ 我們考慮一維空間中的情況^[3]。經典力學中，質量為 \(M,m\) 、相距 \(x\) 的兩物體之間的萬有引力的方向指向對方，其大小可看作關於 \(x\) 的函式：

\[F(x)=\frac{GMm}{x^2} \]

假定在原點有一質量為 \(M\) 的質點，定義無窮遠點為勢能零點。首先計算質量為 \(m\) 的質點從無窮遠點移動到 \(r_0\) 點過程中萬有引力 \(F\) 做的功。我們取足夠遠的一點 \(r_1\) ，將移動過程 \([r_0,r_1]\) 分為 \(n\) 段，假定每一段上 \(F\) 不變，累加所作的功（此時引力方向與移動方向相同，功為正）：

\[W_n=\sum_{i=1}^{n}{F_i\Delta x_i} \]

使區間長 \(\lambda\to 0\) ，右端點 \(r_1\to \infin\) ，得到引力做的功的定義：

\[W_G=\lim_{r_1\to\infin}{\lim_{\lambda\to 0}{W_n}} =\lim_{r_1\to\infin}{\lim_{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^{n}{F_i\Delta x_i}}} =\lim_{r_1\to\infin}{\int_{r_0}^{r_1}{F(x)\text{d}x}} =\int_{r_0}^{\infin}{F(x)\text{d}x} \]

這是一個反常積分。做出不定積分：

\[\int{F(x)\text{d}x}=\int{\frac{GMm}{x^2}\text{d}x}=-\frac{GMm}{x}+C \]

代回原反常積分得到答案：

\[W_G=\int_{r_0}^{\infin}{F(x)\text{d}x} =\lim_{r_1\to\infin}{\left.-\frac{GMm}{x}\right|_{r_0}^{r_1}} =\frac{GMm}{r_0}-\lim_{r_1\to\infin}{\frac{GMm}{r_1}}=\frac{GMm}{r_0} \]

由於無窮遠點為勢能零點，因此 \(r_0\) 點的萬有引力勢能：

\[V(r_0)=V_{\infin}-W_G=-\frac{GMm}{r_0} \]

—2.質能方程

​ 我們考慮一維空間中的情況^[4]。在狹義相對論體系中，兩個相對速度為 \(u\) 的慣性系滿足洛倫茲變換：

\[\left\{ \begin{align*} x' & =\frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\ t' & =\frac{t-ux/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{align*} \right. \]

若對於一個慣性系有一個速度為 \(v\) 的物體，那麼另一個慣性系中此物體的速度

\[v'=\frac{\text{d}x'}{\text{d}t'}=\frac{\text{d}x'/\text{d}u}{\text{d}t'/\text{d}u} =\frac{uc^{-2}(x-ut)(1-u^2/c^2)^{-3/2}}{uc^{-2}(t-ux/c^2)(1-u^2/c^2)^{-3/2}} =\frac{x-ut}{t-ux/c^2}=\frac{v-u}{1-uv/c^2} \]

​ 假設有兩個相對速度為 \(u\) 的慣性系 \(S,S'\) ，質量均為 \(m_0\) 的兩個質點分別相對於 \(S,S'\) 靜止。兩質點相撞後合併為一個質點 \(M\) ，其相對於 \(S,S'\) 的速度分別為 \(v,v'\) 。假定參考系中物體的質量 \(m\) 是速度的大小 \(|v|\) 的函式。那麼由於質量和動量守恆，對於兩個慣性系分別有：

\[\begin{align*} & S:\left\{ \begin{aligned} m_0+m(|u|)& =M(|v|) \\ 0+m(|u|)u& =M(|v|)v \end{aligned} \right. &&\Longrightarrow && \frac{m_0}{m(|u|)}+1=\frac{u}{v} \\ & S':\left\{ \begin{aligned} m_0+m(\lvert-u\rvert)& =M(|v'|) \\ 0+m(\lvert-u\rvert)(-u)& =M(|v'|)v' \end{aligned} \right. &&\Longrightarrow&& \frac{m_0}{m(|u|)}+1=\frac{-u}{v'} \\ \end{align*} \]

於是得到 \(v'=-v\) ，又根據慣性系間的速度變換 （顯然，\(u>v\)）：

\[v'=\frac{v-u}{1-uv/c^2} \quad\Longrightarrow\quad-v=\frac{v-u}{1-uv/c^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{u}{v}=1+\sqrt{1-u^2/c^2} \]

因此：

\[m(|u|)=\frac{m_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \]

​ 於是可定義定義質量為 \(m\) 速度為 \(v\) 的質點的動量 \(p\) 為：

\[p=m(|v|)v=\frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

從而質點如此運動時所受的力 \(F\) 為：

\[F=ma=\frac{m\text{d}v}{\text{d}t}=\frac{\text{d}p}{\text{d}t} \]

同【§4—1】中的功的定義，此力 \(F\) 在區間 \([0,s]\) 上做功：

\[W_F=\int_0^s{F\text{d}x}=\int_0^t{\frac{\text{d}p}{\text{d}t}v\text{d}t}=\int_0^p{v\text{d}p}=\int_0^v{v\frac{\text{d}p}{\text{d}v}\text{d}v} \]

根據動量的定義計算其導數：

\[\frac{\text{d}p}{\text{d}v}=\cfrac{m\sqrt{1-v^2/c^2}-mv\cdot\cfrac{-v/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}{\left(\sqrt{1-v^2/c^2}\right)^2}=\frac{m}{(1-v^2/c^2)^{3/2}} \]

帶回原積分：

\[W_F=\int_0^v{v\frac{\text{d}p}{\text{d}v}\text{d}v}=\int_0^v{\frac{mv}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}\text{d}v}=\left.\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right|_0^v=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-mc^2 \]

記洛倫茲因子 \(\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}\) 。由於合外力對物體做的功等於動能的改變數，假設初始動能為 \(0\) ，那麼點 \(s\) 的動能就為 \(E_k=\gamma mc^2-mc^2\) 。我們視第一部分 \(\gamma mc^2\) 為總能量，第二部分 \(E=mc^2\) 為靜能，就得到了質能方程。

—3.蒲豐投針問題

平面內有無窮條相距 \(a\) 的平行線，將長度為 \(b\) 的針丟在平面內，求針與平行線相交的概率。

首先將問題轉化為數學模型。我們可以用數對 \((x,\theta)\) 描述針在平面內的位置，其中 \(x\) 表示針的中點到距離最近的平行線的距離， \(x\in[0,\frac a 2]\) ；\(\theta\) 表示針與平行線的夾角， \(\theta\in[0,\frac \pi 2]\) 。則針與平行線相交就可以描述為如下不等式：

\[x \leqslant\frac{b}{2}\sin\theta \]

我們將滿足解的數對 \((x,\theta)\) 表在平面內，就會形成如下藍色區域：

​ 我們所求的概率就是藍色區域面積與棕色矩形面積之比。在用積分求出藍色區域面積之前，要注意到當 \(b>a,\sin\theta>\frac a b\) 時，藍色區域會被限制成矩形，此時要分開求積分。於是：

1. 當 \(b\leqslant a\) 時，

   \[\begin{align*} S & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{b}{2}\sin\theta\text{d}\theta}=-\frac{b}{2}\cos\theta\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{b}{2} \\ P & =\frac{S}{S_0}=\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}\cdot\frac{\pi}{2}}=\frac{2b}{\pi a} \end{align*} \]

2. 當 \(b>a\) 時，

   \[\begin{align*} S & =\int_{0}^{\arcsin\frac{a}{b}}{\frac{b}{2}\sin\theta\text{d}\theta}+\int_{\arcsin\frac{a}{b}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{a}{2}\text{d}\theta} \\ &=-\frac{b}{2}\cos\theta\Big|_0^{\arcsin\frac{a}{b}}+\frac{a}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{a}{b}\right) \\ & = \frac{\pi a}{4}+\frac{b}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{b^2-a^2}-\frac{a}{2}\arcsin\frac{a}{b} \\ P & =\frac{S}{S_0}=\frac{\frac{\pi a}{4}+\frac{b}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{b^2-a^2}-\frac{a}{2}\arcsin\frac{a}{b}}{\frac{a}{2}\cdot\frac{\pi}{2}} \\ & =1+\frac{2b}{\pi a}-\frac{2}{\pi a}\sqrt{b^2-a^2}-\frac{2}{\pi}\arcsin\frac{a}{b} \end{align*} \]

綜合起來：

\[P= \left\{ \begin{align*} & \frac{2b}{\pi a} &&(b\leqslant a) \\ & 1+\frac{2b}{\pi a}-\frac{2}{\pi a}\sqrt{b^2-a^2}-\frac{2}{\pi}\arcsin\frac{a}{b} &&(b>a) \end{align*} \right. \]

讀者可自證：給定 \(a\) ，總有 \(0<P<1\) ， \(P\) 隨 \(b\) 的增大嚴格減小，當 \(b\to\infin\) 時 \(P\to 1\) 。

​ 這個實驗在歷史上曾用來估計 \(\pi\) 的大小，不少人做過此實驗（下隨意取幾例）：

試驗者	時間	投擲次數	相交次數	\(\pi\) 估計值
Smith	1855年	3204	1218.5	3.1554
Lazzerini	1901年	3408	1808	3.1415929
Reina	1925年	2520	859	3.1795

而其中多數要麼很不精確，要麼有造假之嫌。這個實驗的“用概率估值”的精神被大名鼎鼎的蒙特卡洛方法繼承，現在在計算機領域仍廣為應用。

—4.不規則物體的引力

求平面內線密度 \(\rho\) 的曲線 \((x(t),y(t)),t\in[a,b]\) 對質量為 \(m\) 的質點 \((p,q)\) 的引力的大小。

老規矩，分割區間 \([a,b]\) ，近似計算出每一段的質量：

\[M_i=\rho\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)^2}\Delta t_i \]

取每一段上的一點 \((\xi_i,\psi_i)\) ，算出其到質點的距離：

\[L_i=\sqrt{(\xi_i-p)^2+(\psi_i-q)^2} \]

計算出此段對質點的引力大小：

\[F_i=\frac{GmM_i}{L_i^2}=\frac{Gm\rho\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)^2}\Delta t_i}{(\xi_i-p)^2+(\psi_i-q)^2} \]

將力分解到座標軸方向上：

\[{F_i}_x=F_i\cos\theta_i=\frac{Gm\rho(\xi_i-p)\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)^2}\Delta t_i}{((\xi_i-p)^2+(\psi_i-q)^2)^{3/2}}\\ {F_i}_y=F_i\sin\theta_i=\frac{Gm\rho(\psi_i-q)\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)^2}\Delta t_i}{((\xi_i-p)^2+(\psi_i-q)^2)^{3/2}} \]

求和求出合力，並套入極限：

\[F_x=\lim_{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^{n}{{F_i}_x}}=\int_a^b{\frac{Gm\rho(x(t)-p)\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}}{((x(t)-p)^2+(y(t)-q)^2)^{3/2}}\text{d}t} \\ F_y=\lim_{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^{n}{{F_i}_y}}=\int_a^b{\frac{Gm\rho(y(t)-p)\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}}{((x(t)-p)^2+(y(t)-q)^2)^{3/2}}\text{d}t} \]

於是這個引力的大小就是 \(F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}\) 。

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本章介紹了積分的定義、基本計算方法和其應用。狹義來說，積分是微分的逆操作（這將在第五章微分方程充分體現）。廣義來說，對某一個函式的“累積”操作總可以抽象成關於這個函式的一個積分（積分甚至不一定連續，例如在數論中狄利克雷卷積就可以視作一種“積分”），再加以解決。積分也因此廣泛地應用於物理、資訊等各個領域。在下一章節，我們將介紹對於各種常見形式的積分的計算方法，那將是一個純粹技術性的章節。

\[\ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \mathtt{Square-Circle} : 2021.*.* \sim 2022.5.2 \ \\ \]

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1. 另一種理解是將 \(\int{\text{d}y}\)​ 視作函式 \(f(y)=1\)​ 的積分，那麼如上的操作就是下一節的換元積分法。 ↩︎

2. 這裡拉格朗日中值定理的使用條件，應由函式的可積性保證。詳細的討論會十分繁瑣，並會涉及測度論等高深內容。讀者僅需理解為“大部分常見的連續可導函式都可積”即可。 ↩︎

3. 勢能的定義實則是很複雜的，涉及到多維空間中的定向、零點的選取、積分是否與路徑相關等。這裡採取的是一維空間中的方便的簡化。 ↩︎

4. 以下內容參考了微信公眾號“長尾科技”的文章你也能懂的質能方程E=mc²。 ↩︎