極座標系
定義
以極點\(O\)引一條射線做極軸\(Ox\)，選定長度單位、角度單位（一般為弧度）及正方向（一般為逆時針），\(\lvert OP\rvert\)為點\(P\)的極徑，記為\(r\)，角\(xOP\)為點\(P\)的極角，記為\(\theta\)，有序對\((r,\theta)\)叫做點\(P\)的極座標，記為\(P(r,\theta)\)。
極座標與直角座標的轉換
極座標轉換至直角座標：
\(x=r\cos(\theta)\)（相當於\(r\)朝\(x\)軸投影）
\(y=r\sin(\theta)\)（相當於\(r\)朝\(y\)軸投影）
直角座標轉換至極座標：
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\tan(\theta)=\frac{y}{x}(x\ne0)\)
球座標系
定義
\(\vert OP\vert\)為點\(P\)到原點的距離，記為\(r\)，\(OP\)與\(Z\)軸構成的夾角為點\(P\)的極角，記為\(\theta\)，\(OP\)在\(XY\)平面的投影與\(X\)軸構成的夾角為點\(P\)的方位角，記為\(\varphi\)，有序對\((r,\theta,\varphi)\)叫做點\(P\)的球座標，記為\(P(r,\theta,\varphi)\)，球座標可視為極座標的三維推廣。
球座標與直角座標的轉換：
球座標轉換至直角座標：
\(x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)\)（相當於\(r\)先朝\(xy\)平面投影再朝\(x\)軸投影）
\(y=r\sin(\theta)sin(\varphi)\)（相當於\(r\)先朝\(xy\)平面投影再朝\(y\)軸投影）
\(z=r\cos(\theta)\)（相當於\(r\)朝\(z\)軸投影）
直角座標轉換至球座標：
\(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(\theta=\arccos(\frac{z}{r})=\arcsin\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r}\right)=\arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)\)
\(\varphi=\arccos\left(\frac{x}{r\sin(\theta)}\right)=\arcsin\left(\frac{y}{r\sin(\theta)}\right)=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\)
計算\(\varphi\)時：
- 必須依照\((x,y)\)所處的象限來計算正確的反正切值。
- 當\(x=0\)時，判斷\(y\)的值：
若\(y>0\)，則\(\varphi=\frac{\pi}{2}\)
若\(y<0\)，則\(\varphi=-\frac{\pi}{2}\)或\(\frac{3\pi}{2}\)
若\(y=0\)，則\(\varphi\)為未定值（因為\(\frac{0}{0}\)為未定式）。
半球積分
沿方位角\(\varphi\)方向移動的弧對應的半徑為\(r\sin(\varphi)\)，對其弧長的微分等於\(r\sin\theta d\varphi\)，沿極角\(\theta\)方向移動的弧對應的半徑為\(r\)，對其弧長的微分等於\(rd\theta\)，則球面面積微分\(dA=r^2\sin\theta d\theta d\varphi\)
可得半球積分：
\(\int_0^{2\pi}\int_0^\frac{\pi}{2}r^2\sin\theta d\theta d\varphi\)