不定積分（方法論）
標籤（空格分隔）： 微積分 數學
前言
首先掛一個反三角函式的導數在這，原因是我沒記住
\[(\arcsin)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
(\arccos)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
(\arctan)'=\dfrac{1}{1+x^2}\\
\]
太有實力了
絕對不是晚自習摸魚
先來方法吧，技巧下次再寫
第一換元法（湊微分）
這類方法主要是特別考驗你對數字的敏感程度，對求導公式的運用程度，因此我們必須熟練記憶一些初等函式求導公式以及額外補充的一些推出來的求導公式（當然還有基礎的積分公式）
不妨說這種方法的難點不在於積分本身，而在於湊式子的能力和導數熟練度
原理：\(\mathrm{d}y=y'\mathrm{d}x\)
應用舉例：
例1.1：三角如何
眾所周知三角函式的積分是比較麻煩的，我們可以利用第一換元法化簡然後輔助三角函式的基本公式解決問題
\[\int \sin^2 x\cos^5 x \mathrm{d}x
\]
這一坨三角看著就難受，我們分一個 \(\cos\) 出來扔到 \(\mathrm{d}\) 裡面去
\[\int \sin^2 x\cos^4 x \mathrm{d}\sin x\\
=\int \sin^2 x (1-\sin^2 x)^2 \mathrm{d} \sin x
\]
換元 \(t=\sin x\)
\[\int t^6-2t^4+t^2 \mathrm{d} t
\]
所以原式結果就是
\[\int \sin^2 x\cos^5 x \mathrm{d}x=\dfrac{1}{7}\sin^7 x-\dfrac{2}{5}\sin x^5+\dfrac{1}{3}\sin^3 x +C
\]
為什麼選擇使用 \(\cos x\) 去湊？主要原因是三角函式中偶數次冪比奇數次冪好處理得多
例1.2 高次冪多項式和（反）三角函式
\[\int \frac{\sqrt{\arctan x}}{1+x^2}\mathrm{d}x\\
= \int \sqrt{\arctan x}\ \mathrm{d}(\arctan x)\\
=\frac{2}{3} (\sqrt{\arctan x})^3+C
\]
\(\int \sqrt t\mathrm{d}t=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\)，利用了這個公式
還是好玩的
第二換元法
這種的基本思路跟上面不太一樣
原理：若 \(t=f(x)\)，假如可以反解出 \(x=g(t)\)，則兩邊求微分可得 \(\mathrm{d} x=g'(t)\mathrm{d}t\)
例2.1
\[\int \frac{1}{1+\sqrt x}\mathrm{d}x
\]
不妨換 \(t=\sqrt x\)，則有 \(x=t^2\)，取微分有 \(\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t\)
於是有
\[\int \frac{1}{1+\sqrt x}\mathrm{d}x=\int \frac{2t}{1+t}\\
=2\int（1-\frac{1}{1+t})=2(t-\ln|1+t|)+C\\
=2\sqrt x-2\ln(1+\sqrt x)+C
\]
感覺就是第一換元法的一個逆用的樣子