微積分小感——1.導數與微分
所需的前置知識：
1）函式的概念
2）實數理論
3）極限理論（第0章）
§1.導數
—1.速度、切線與導數的定義
想當年，牛老爵爺[1]發明“導數”（他稱之為“流數”）的概念，便是為了解決如下的問題：
已知函式 \(y=f(x)\) 描述了物體路程 \(y\) 與時間點 \(x\) 的關係，
求函式 \(y'=f'(x)\) 描述物體的瞬時速度 \(y'\) 與時間點 \(x\) 的關係，
這函式被稱為函式 \(y=f(x)\) 的導數。
（規定路程的正方向，速度帶有符號——正向運動為正，反向運動為負）
回想物理中速度的定義式 \(v=s/t\) ，這裡的 \(s\) 與 \(t\) 都是“路程段”、“時間段”，而時間點 \(x\) 上的“時間段”長度為 \(0\) （點的定義就是沒有長度——或看作長度為 \(0\) ——的線段），經過的“路程段”長度也為零，那麼這一點的速度不就是 \(0/0\) 了嗎？！這該如何是好？
我們不妨秉持著“用有限逼近無窮”的理念（這裡的“無窮”是指無窮小），給這一時間點”延伸“出一段有限的時間長度 \(\Delta x\) （ \(\Delta x > 0\) ，這是一整個記號），那麼相應的，路程也會延伸出一段 \(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\) ，定義這一點上的速度為：
這便得到導數的定義式。
從幾何中”切線“的角度看，我們對”切線“這一概念的希望是”與曲線 \(y=f(x)\) 僅有一點 \((x_0,y_0)\) 接觸的一條直線“，但是兩點才能確定一條直線（歐幾里得的直線公理），這又該如何是好？我們依舊秉持“用有限逼近無窮”的理念，在函式上另取一點 \((x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\) （若這一點有切線，則取點的左右不會產生實際的影響，現在先不妨 \(\Delta x > 0\) ，\(<0\) 的情況讀者可自行推演），作兩點間的割線：
定義切線為 \(\Delta x \to 0\) 時的割線，便得到切線的方程如下：
即 \(L_{tan}:y = f'(x_0) \cdot (x-x_0) + y_0\) ，函式在這一點的導數（也就是一個點沿著曲線運動到這一點時的瞬時速度）恰好是這一點上的切線的斜率！這就解釋了物理上的關於運動的定律：質點在某一點的運動方向，沿曲線在這一點的切線方向。
總結一下：
對於函式 \(y=f(x)\) ，定義其導數為：
\[y'=f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} =\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}} \]（一點 \(x=x_0\) 上導數存在的條件是以上極限在這一點有意義）
附註：
有時會出現要對多個不同的變元求導的情況，我們把這一次求導的變元記為導數符號的下標，如 \(y=f(x)\) 的導數記作 \(y'_x\) ， \(x=g(t)\) 的導數記作 \(x'_t\) ，巢狀函式 \(y=f(g(t))\) 的導數記作 \(y'_t\) 。
—2.導數的運演算法則
既定義了導數，自然要研究其運演算法則：
對於函式 \(u=f(x)\) ，\(v=g(x)\) ：
\((ⅰ)\quad\) 加減法則： \((u \pm v)'=u' \pm v'\)
\((ⅱ)\quad\) 係數法則： \((k \cdot u)'=k \cdot u'\) （ \(k\) 為常數）
\((ⅲ)\quad\) 乘法法則： \((uv)'=u'v+v'u\)
\((ⅳ)\quad\) 除法法則： \((\frac{u}{v})'=\frac{u'v-v'u}{v^2}\) （此時 \(v \neq 0\) ）
\((ⅴ)\quad\) 巢狀法則： \(u'_x=u'_v v'_x\) （或以括號的形式表做 \((f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\) ）
前兩條運演算法則容易用極限的運演算法則（極限的加減法則和係數法則）檢驗，後三條則沒有那麼顯然。下面我們運用導數的定義式和極限的各種運演算法則，輪流加以證明：
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乘法法則： \((uv)'=u'v+v'u\)
記 \(y=uv\) ，給自變數 \(x\) 一個增量 \(\Delta x\) ，則 \(u\) ， \(v\) 分別獲得增量 \(\Delta u\) ， \(\Delta v\) （這樣的論證形式會在下面兩個定理的證明中反覆出現）。那麼 \(y\) 獲得增量：
\[\Delta y = (y+\Delta y)-y=(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv=u\Delta v+v\Delta u+\Delta u\Delta v \]若 \(u\) ，\(v\) 的導數有限，則當 \(\Delta x \to 0\) 時，有 \(\Delta u \to 0\) ， \(\Delta v \to 0\) ，故 \(\Delta y \to 0\) 。
根據導數的定義式：
\[\begin{align*} (uv)'=y' & =\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} \\ & =\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{u\Delta v+v\Delta u+\Delta u\Delta v}{\Delta x}} \\ & =u\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta v}{\Delta x}}+v\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta u}{\Delta x}}+\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta u\Delta v}{\Delta x}} \\ & =uv'+vu'+\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta u\Delta v}{\Delta x}} \end{align*} \]上式末尾的一項便趨於 \(0\) （可將其視作一個有限的導數乘以一個無窮小的增量），即 \((uv)'=u'v+uv'\) 。該法則便得到證明。
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除法法則： \((\frac{u}{v})'=\frac{u'v-v'u}{v^2}\) （此時 \(v \neq 0\) ）
記 \(y=\frac{u}{v}\) ，給自變數 \(x\) 一個增量 \(\Delta x\) ，則 \(u\) ， \(v\) 分別獲得增量 \(\Delta u\) ， \(\Delta v\) 。那麼 \(y\) 獲得增量：
\[\Delta y=(y+\Delta y)-y=\frac{u+\Delta u}{v+\Delta v}-\frac{u}{v} =\frac{v\Delta u-u\Delta v}{v(v+\Delta v)} \]若 \(u\) ，\(v\) 的導數有限，則當 \(\Delta x \to 0\) 時，有 \(\Delta u \to 0\) ， \(\Delta v \to 0\) ，故 \(\Delta y \to 0\) 。
根據導數的定義式：
\[\begin{align*} (\frac{u}{v})'=y' & = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\frac{1}{\Delta x}(v\Delta u-u\Delta v)}{v(v+\Delta v)}} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{v\frac{\Delta u}{\Delta x}-u\frac{\Delta v}{\Delta x}}{v(v+\Delta v)}} \\ & = \frac{u'v-v'u}{v^2} \end{align*} \]該法則便得到證明。
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巢狀法則： \(u'_x=u'_v v'_x\)
給自變數 \(x\) 一個增量 \(\Delta x\) ，則 \(v\) 獲得增量 \(\Delta v\) ， \(u\) 於是獲得增量 \(\Delta u\) ，根據導數的定義式：
\[u'_x=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta u}{\Delta x}} =\lim_{\Delta x \to 0}{(\frac{\Delta u}{\Delta v}\cdot\frac{\Delta v}{\Delta x})} =\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta u}{\Delta v}}\cdot\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta v}{\Delta x}} \]當 \(u\) ，\(v\) 的導數有限時，若 \(\Delta x \to 0\) ，則 \(\Delta v \to 0\) ，則：
\[u'_x=\lim_{\Delta v \to 0}{\frac{\Delta u}{\Delta v}}\cdot\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta v}{\Delta x}}=u'_v v'_x \]該法則便得到證明。
萬事具備，拿上新工具，開始對我們熟悉的那些函式下刀！
—3.一些常見函式的導數
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有理函式
我們先考慮最單純的有理函式：
求導 \(y=x^n \ (n \in \mathbb{N})\)
根據導數的定義式：
\[y'=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}} \]由二項式定理：
\[(x+\Delta x)^n=\sum^{n}_{k=0}{\binom{n}{k}(\Delta x)^k x^{n-k}} =x^n + \Delta x \cdot nx^{n-1} + (\Delta x)^2 \cdot \sum^{n}_{k=2}{\binom{n}{k}(\Delta x)^{k-2} x^{n-k}} \]記最後一項為 \((\Delta x)^2 \cdot S\) （ \(S\) 有限），代入導數的定義式：
\[y'=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{x^n+\Delta x \cdot nx^{n-1}+(\Delta x)^2 \cdot S-x^n}{\Delta x}} =nx^{n-1} + \lim_{\Delta x \to 0}{\Delta x \cdot S}=nx^{n-1} \]即 \((x^n)'=nx^{n-1}\) 。
使用除法法則可以將 \(n\) 擴充套件到 \(n \in \mathbb{Z}\) ，讀者可以自行驗證 \(n \in \mathbb{Z}\) 時上述公式的正確性。使用加減法則和係數法則可以解決有理整函式，輔以除法法則可以解決有理分式函式（這會帶來十分可觀的計算量，從技術上來看，對高次式在有理範圍因式分解後使用乘法法則會使計算中的各部分有可提的公因式，一定程度上減少計算量）。
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三角函式
三角函式的求導與上一章中三角函式的極限密切相關。尤其是當 \(x \to 0\) 時，有 \(\sin x \sim x\) ， \(\cos x \sim 1\) （還記得 \(\sim\) 這個符號吧），這將會提供極大的幫助。
求導 \(y=\sin x\)
根據導數的定義式：
\[y'=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}} \]使用 \(\sin\) 的和角公式展開：
\[y'=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\sin x \cos\Delta x+\sin\Delta x \cos x-\sin x}{\Delta x}} \]當 \(\Delta x \to 0\) 時，有 \(\sin\Delta x \sim \Delta x\) ， \(\cos\Delta x \sim 1\) ，於是：
\[y'=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\sin x +\Delta x \cos x-\sin x}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\cos x}=\cos x \]即 \(\sin'x=\cos x\) 。
求導 \(y=\cos x\)
根據導數的定義式：
\[y'=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}} \]使用 \(\cos\) 的和角公式展開：
\[y'=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\cos x \cos\Delta x-\sin x \sin\Delta x -\cos x}{\Delta x}} \]當 \(\Delta x \to 0\) 時，有 \(\sin\Delta x \sim \Delta x\) ， \(\cos\Delta x \sim 1\) ，於是：
\[y'=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\cos x -\sin x \Delta x-\cos x}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{-\sin x}=-\sin x \]即 \(\cos'x=-\sin x\) 。
求導 \(y=\tan x\)
注意到 \(\tan x=\cfrac{\sin x}{\cos x}\) ，根據除法法則：
\[y'=\frac{\sin'x\cos x-\cos'x\sin x}{\cos^2 x} =\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x \]即 \(\tan'x=\sec^2x\) 。
另一半三角函式的導數可以用三角函式之間的倒數關係匯出。
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指數函式
雖不明就裡，我們且先從 \(e\) 的指數函式開始，其原因會在推導過程中逐漸顯現。
求導 \(y=e^x\)
根據導數的定義式：
\[y'=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}} \]稍加變形，我們可以將含 \(x\) 的部分分離出極限：
\[y'=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{e^x e^{\Delta x}-e^x}{\Delta x}} =\lim_{\Delta x \to 0}{e^x\cdot\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}} =e^x\cdot\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}} \]還記得 \(e\) 的性質嗎？根據 \(\lim_{x \to 0}{( 1 + x )^{\frac{1}{x}}}=e\) ，做如下變形：
\[\lim_{x \to 0}{( 1 + x )^{\frac{1}{x}}}=e \\ \lim_{x \to 0}{\frac{( 1 + x )^{\frac{1}{x}}}{e}}=1 \\ \lim_{x \to 0}{\frac{1 + x}{e^x}}=1 \]即當 \(x \to 0\) 時，\(e^x \sim x+1\) 。那麼當 \(\Delta x \to 0\) 時，\(e^{\Delta x} \sim \Delta x+1\) ，帶入原式：
\[y'=e^x\cdot\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}} =e^x\cdot\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta x+1-1}{\Delta x}} =e^x \]即 \((e^x)'=e^x\) 。
這是個極美妙的結論。當我們用定義式求以其他數為底的指數函式的導數時，我們會對分離後得到的那個極限束手無策，而 \(e\) 的性質是解決那個極限的——可以說唯一的——辦法。
一般的指數函式 \(a^x\) 的導數可以用巢狀法則匯出（下面記 \(e^x\) 為 \(\exp(x)\) ）：
\[(a^x)'=(\exp(x\ln a))'=(x\ln a)'\cdot \exp'(x\ln a)=\ln a \cdot \exp(x\ln a)=\ln a\cdot a^x \] -
對數函式和冪函式
有了指數函式，我們可以通過一種“方程”的形式，從函式之間的恆等式出發，兩側同時求導，匯出對數函式和指數函式的導數。這裡主要會用到巢狀法則。
求導 \(y=\ln x\)
由對數的定義得到如下的恆等式：
\[e^y=e^{\ln x}=x \]兩邊求導（左側運用巢狀法則），得到：
\[y' \cdot e^y=1 \]除掉 \(y'\) 的“係數”，得到：
\[y'=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x} \]即 \((\ln x)'=\frac{1}{x}\) 。
一般對數函式的導數可以用對數的換底公式簡單求出：
\[(\log_ax)'=\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)'=\frac{1}{x\ln a} \]求導 \(y=x^n \ (n\in\mathbb{R})\)
注意到恆等式：
\[y=x^n=e^{n\ln x} \]兩邊求導（右側運用巢狀法則），得到：
\[y'=(n\ln x)'\cdot e^{n\ln x}=\frac{n}{x}\cdot x^n=nx^{n-1} \]即 \((x^n)'=nx^{n-1}\) ，有理函式中的結論依然成立。
以上便是初等函式的求導。我們常見的函式基本上都是以上函式的堆砌。讀者便可拿著這五條法則和五類基本函式的導數，“拿著錘子把什麼都當作釘子”，將所見的所有函式統統作為練習材料，提升求導技術（這類計算機可做的活兒都可算作“體力活”）的同時，或許還能發現導數與函式之間的奇妙聯絡（這將會在第2章涉及）。
§2.微分
—1.無窮小的分階
在介紹微分之前，先要引入“無窮小的分階”這一前置知識：
對於 \(x\to a\) 時關於 \(x\) 的兩無窮小量 \(u\) 和 \(v\) ：
- 若 \(\lim_{x\to a}{\frac{u}{v}}=0\) ，則稱 \(u\) 是比 \(v\) 高階的無窮小，記作 \(u=\omicron(v)\) 。
- 若 \(\lim_{x\to a}{\frac{u}{v}}=k \quad(k\in\mathbb{R}_{\neq 0})\) ，則稱 \(u\) 和 \(v\) 是同階無窮小。
可以看出，無窮小的分階取決於兩個無窮小的比值是否為無窮小（比值為無窮大時，顛倒分子分母即可；若此極限不存在，則這兩個無窮小不可比較）。
值得注意的是高階無窮小符號 \(\omicron(v)\) 的意義。這個符號其實代表了一個（關於同一自變數 \(x\) 的）函式集合 \(F\)，裡面的元素 \(u\in F\) 滿足 \(\lim_{x\to a}{\frac{u}{v}}=0\) ， \(u=\omicron(v)\) 就相當於 \(u\in F\) 。如此，像：
這樣看似奇怪的運演算法則便是順理成章的。
對於同階無窮小，有一重要定理：
對於 \(x\to a\) 時關於 \(x\) 的兩無窮小量 \(u\) 和 \(v\) ， \(\lim_{x \to a}{\frac{u}{v}}=k\) 當且僅當 \(u=kv+\omicron(v)\) 。
由前推後：
將極限中的常數移到極限內：
\[\lim_{x \to a}{(\frac{u}{v}-k)}=0 \]稍加變形：
\[\lim_{x \to a}{\frac{u-kv}{v}}=0 \]根據高階無窮小的定義，得到：
\[u-kv=\omicron(v) \]即結論中的式子。
由後推前：
直接將 \(u\) 和 \(v\) 的關係式帶入：
\[\lim_{x\to a}{\frac{u}{v}}=\lim_{x\to a}{\frac{kv+\omicron(v)}{v}} =\lim_{x\to a}{(k+\frac{\omicron(v)}{v})} =k+\lim_{x\to a}{\frac{\omicron(v)}{v}}=k \]即結論中的式子。
這定理說明了在極限計算和近似公式中，可以將複雜的無窮小替換為相對簡單的等價無窮小，而極限的結果不變，近似公式的誤差（即 \(\omicron(v)\) ）也在可接受的範圍內。
—2.微分的定義
終於回到正題，注意到導數的定義式：
若此處的導數有限且非零，那麼此時 \(\Delta y\) 和 \(\Delta x\) 是同階無窮小，且：
我們記 \(\text{d}y=y'\cdot\Delta x\) ，\(\text{d}x=\Delta x\) （這只是為了保持記號的一致性），那麼上式就可改寫成：
其中 \(\text{d}y\) 稱為 \(y\) 的微分。從中我們可以看出，微分是對函式增量的近似，就如下圖（粉紅色為點 \(P\) 處的切線，點 \(\text{dY}\) 表示點 \((x_0+\Delta,y_0+\text{d}y)\) ，點 \(\Delta\text{Y}\) 表示點 \((x_0+\Delta,y_0+\Delta y)\) ，藍色的線段表示 \(\Delta y\) 和 \(\text{d}y\) 的差，動態演示見檔案§2-2.ggb）：
我們同時得到了導數的另一表示方法：
這記號的右邊有時被看作一個整體，這就是導數的萊布尼茨記號[2]。
將導數公式中的導數用微分替換，就得到以下的微分公式：
對於函式 \(u=f(x)\) ，\(v=g(x)\) ：
\((ⅰ)\quad\) 加減法則： \(\text{d}(u \pm v)=\text{d}u \pm \text{d}v\)
\((ⅱ)\quad\) 係數法則： \(\text{d}(k \cdot u)=k \cdot \text{d}u\) （ \(k\) 為常數）
\((ⅲ)\quad\) 乘法法則： \(\text{d}(uv)=v\text{d}u+u\text{d}v\)
\((ⅳ)\quad\) 除法法則： \(\text{d}(\frac{u}{v})=\frac{v\text{d}u-u\text{d}v}{v^2}\) （此時 \(v \neq 0\) ）
\((ⅴ)\quad\) 巢狀法則： \(\text{d}u=\frac{\text{d}u}{\text{d}v}\text{d}v=\frac{\text{d}u}{\text{d}v}\frac{\text{d}v}{\text{d}x}\text{d}x\)
—3.用微分求導
由公式 \(y'_x=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\) ，我們可以把導數轉換成微分的比，這能大大簡化一些函式的求導。
比如引數方程形式的函式：
已知 \(y=\phi(t)\) 和 \(x=\psi(t)\) 及其導數，求 \(y=f(x)\) 的導數
\[y'_x=\frac{\text{d}y}{\text{d}x} =\frac{\frac{\text{d}y}{\text{d}t}}{\frac{\text{d}x}{\text{d}t}}=\frac{y'_t}{x'_t} \]帶回函式的形式，即：
\[f'(x)=\frac{\phi'(t)}{\psi'(t)} \]
以及反函式的導數：
已知函式 \(y=f(x)\) 及其導數，求反函式 \(x=f^{-1}(y)\) 的導數
\[x'_y=\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\frac{1}{\frac{\text{d}y}{\text{d}x}}=\frac{1}{y'_x} \]帶回函式的形式，即：
\[(f^{-1}(y))'=\frac{1}{f'(x)} \]
有了這兩把利器，我們就可以求導一些形式更為奇葩的函式：
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反三角函式
求導 \(y=\arcsin x\)
套用反函式求導法：
\[y'=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{\sin'y}=\frac{1}{\cos y} \]這個函式是含 \(y\) 的，我們帶入 \(y\) ，並用反三角函式的定義加以化簡：
\[y'=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\cos(\arcsin x)} =\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]即 \(\arcsin'x =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 。
求導 \(y=\arccos x\)
同上：
\[y'=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{\cos'y}=\frac{1}{-\sin y} =-\frac{1}{\sin(\arccos x)} =-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]即 \(\arccos'x =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 。
求導 \(y=\arctan x\)
同上：
\[y'=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{\tan'y}=\frac{1}{\sec^2 y} =\frac{1}{\sec^2(\arctan x)} =\frac{1}{1+\tan^2(\arctan x)}=\frac{1}{1+x^2} \]即 \(\arctan'x =-\frac{1}{1+x^2}\) 。
-
圓方程
面對 \(x^2+y^2=r^2 \quad(r\in\mathbb{R}^+)\) 這樣 \(x\) 與 \(y\) 並非函式關係的曲線方程，它的導數該怎麼求呢？
首先，可以把此方程改寫為引數方程的形式，即用一個參變數 \(t\) 把 \(x\) ， \(y\) 都表示為它的函式：
\[x^2+y^2=r^2 \Longleftrightarrow \left\{ \begin{align*} x=r\sin t\\ y=r\cos t\\ \end{align*} \right. \]然後使用引數方程的求導方法：
\[y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}=\frac{(r\sin t)'}{(r\cos t)'} =\frac{r\cos t}{-r\sin t}=-\cot t \]或者將 \(x\) ， \(y\) 重新帶入，得到 \(y'_x=-\frac{x}{y}\) 。
或者，我們可以使用之前用到的等式兩邊同時求導的思想（下面使用萊布尼茨記號）：
\[\begin{align*} x^2+y^2&=r^2 &&\Rightarrow\text{原方程} \\ \frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2+y^2)&=\frac{\text{d}}{\text{d}x}r^2 &&\Rightarrow\text{兩邊求導} \\ \frac{\text{d}}{\text{d}x}x^2+\frac{\text{d}}{\text{d}x}y^2&=0 &&\Rightarrow\text{右邊常數的導數為零} \\ 2x+2y\frac{\text{d}y}{\text{d}x}&=0 &&\Rightarrow\text{左邊第二項使用巢狀法則} \\ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}&=-\frac{x}{y} &&\Rightarrow\text{移項，除掉係數} \\ \end{align*} \]得到與上一種方法同樣的結果。這種方法被稱為“隱函式求導”。
附註：
注意到對於圓上一點 \(P(x,y)\) ，直線 \(OP\) 的斜率 \(\frac{y}{x}\) 與此點的切線斜率（即導數） \(-\frac{x}{y}\) 互為負倒數，這就是幾何上的結論：圓上一點處的切線垂直於過這一點的直徑。 -
雙曲線方程
求導 \(y^2=x^2-r^2\)
定義雙曲三角函式：
\[\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \\ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \]容易驗證如下的式子：
\[\sinh^2 x=\cosh^2 x-1 ,\\ \sinh'x=\cosh x \ ,\ \cosh x=\sinh x \]取引數 \(t\) 使 \(y=r\sinh t\) ， \(x=r\cosh t\) ，使用引數方程的求導方法：
\[\frac{\text{d}y}{\text{d}x} =\frac{\frac{\text{d}y}{\text{d}t}}{\frac{\text{d}x}{\text{d}t}} =\frac{(r\sinh t)'}{(r\cosh t)'} =\frac{r\cosh t}{r\sinh t}=\frac{x}{y} \]附註：
雙曲三角函式（後面會不時見到）與三角函式十分相似，如三角函式關於 \(e\) 的恆等式 \(\sin x=\frac{1}{2}(e^{ix}-e^{-ix})\) ， \(\cos x=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})\) 就與雙曲三角函式的定義式十分相似。
實際上，微分的引入就是為了把整個的導數 \(y'\) 拆分成兩個微分 \(\text{d}y\) 和 \(\text{d}x\) 之比，這樣在進行變形時可以更靈活的移動。微分的真正妙用要到微分積分方程（大概第5章？）的時候才會充分體現。
§3.高階導數和高階微分
—1.高階導數
注意到，關於 \(x\) 的函式 \(y\) 求導之後，得到的導數 \(y'\) 依舊是關於 \(x\) 的函式，我們可以對 \(y'\) 再求導，得到函式的二階導數，記作 \(y''\) 。一般的，定義函式 \(y\) 的 \(n+1\) 階導數[3]為：
同樣，高階導數也有其運演算法則：
對於函式 \(u=f(x)\) ，\(v=g(x)\) ， \(n\in\mathbb{N}^*\) ：
\((ⅰ)\quad\) 加減法則： \((u \pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}\)
\((ⅱ)\quad\) 係數法則： \((k \cdot u)^{(n)}=k \cdot u^{(n)}\) （ \(k\) 為常數）
\((ⅲ)\quad\) 乘法法則： \((uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{C^k_n u^{(n-k)}v^{(k)}}\) （又稱萊布尼茨公式）
我們使用歸納法加以證明：
當 \(n=1\) 時，根據導數的運演算法則，結論成立。
當以上法則對於 \(n<m\) 均成立時，對於 \(n=m\) ，有：
\[(u \pm v)^{(m)}=\left((u \pm v)^{(m-1)}\right)' =\left(u^{(m-1)}\pm v^{(m-1)}\right)' =\left(u^{(m-1)}\right)'\pm \left(v^{(m-1)}\right)'=u^{(m)}\pm v^{(m)} \]\[(k \cdot u)^{(m)}=\left((k \cdot u)^{(m-1)} \right)' =\left(k \cdot u^{(m-1)} \right)'=k \cdot u^{(m)} \]\[\begin{align*} (uv)^{(m)} & =\left((uv)^{(m-1)}\right)'\\ & =\left(\sum_{k=0}^{m-1}{C^k_{m-1} u^{(m-1-k)}v^{(k)}}\right)' \\ & =\sum_{k=0}^{m-1}{C^k_{m-1} \left(u^{(m-k)}v^{(k)}+u^{(m-1-k)}v^{(k+1)}\right)} \\ & =\sum_{k=0}^{m-1}{C^k_{m-1} u^{(m-k)}v^{(k)}}+\sum_{k=1}^{m}{C^{k-1}_{m-1} u^{(m-k)}v^{(k)}} \\ & =C^0_{m-1}u^{(m)}v^{(0)}+\sum_{k=1}^{m-1}{\left(C^k_{m-1}+C^{k-1}_{m-1}\right)u^{(m-k)}v^{(k)}}+C^{m-1}_{m-1}u^{(0)}v^{(m)} \\ & =\sum_{k=0}^{m}{C^k_{m} u^{(m-k)}v^{(k)}} \end{align*} \]以上法則便得到證明。
可以看到，前兩條法則是對導數運演算法則的自然繼承，第三條則於二項式定理極其相似——只不過把冪的次數換成的導數的階數。而與導數的除法法則、巢狀法則對應的高階導數運演算法則由於太過複雜，故不加描述（實在有耐性的讀者可自行推演，但似乎並沒有涉及這些公式的參考資料）。
—2.高階微分
根據我們定義微分時的經驗，對於 \(y\) 的 \(n\) 階微分 \(\text{d}^n y\) ，我們似乎會定義如下的高階微分：
但是正確的定義是這樣的[4]：
為什麼呢？
我們重新審視一下微分 \(\text{d} y=y'\text{d}x\) ，發現 \(\text{d} y\) 可以看作一個二元函式 \(\text{d} y=f(x,\text{d}x)\) ，其中的兩變數 \(x\) 和 \(\text{d} x\) 相互獨立（不要因為 \(\text{d}x\) 裡帶了一個 \(x\) 就認為二者有關係， \(\text{d} x\) 是根據一個任意增量 \(\Delta x\) 定義的無窮小量），當我們對 \(\text{d} y\) 做（多次的、對變數 \(x\) 的）微分操作時，就應把 \(\text{d}x\) 視作常數。所以：
利用歸納法，就可以得到高階微分的定義 \(\text{d}^n y=y^{(n)}\text{d}x^n\) 。
同樣，我們可以得到導數的微分表示法：
高階導數和高階微分的運用會在下一章“用導數研究函式”談到。
§4.導數與微分的應用
—1.物體冷卻
對於一個初始溫度為 \(T_0\) 的物體，在環境溫度恆為 \(T_c\) 的時候，降溫的速度與物體當前溫度與外界的溫度差成正比，求物體溫度關於時間的函式 \(T(t)\) 。
注意到降溫速度就是溫度的變化速度，也就是溫度的導數，得出以下關係式：
其中正數 \(k\) 為比例係數（由於降溫，故帶負號）。什麼函式的導數與原函式形式基本類似（只相差一個係數和一個常數）？當然是 \(e^x\) 。我們調配一下係數：
就得到了答案 \(T(t)=e^{-kt}+T_c\) 。
等等，我們似乎還沒做完。注意到物體的初始溫度為 \(T_0\) ，也就是 \(T(0)=T_0\) ，這個條件該如何滿足？注意到如果在 \(e\) 的指數上配一個常數數 \(\lambda\) ，不僅不會影響如上函式與導數的關係，而且由 \(T(0)=T_0\) 可以解出常數 \(\lambda\) 的值：
所以最終的答案是 \(T(t)=e^{-kt+\ln(T_0-T_c)}+T_c\) 。
如上湊係數的過程多有運氣成分，對於這類“已知函式與其導數的關係求函式”的問題，會在微分積分方程那一章詳細分析。這裡只是讓大家體會導數對函式變化速度的描述。
—2.一個關於對數的不等式
若 \(m>n>1\) ，則對於任意 \(x>1\) ，滿足：
\[(m-1)\log_m x > (n-1)\log_n x \]
做不等式兩邊的比，則原不等式成立當且僅當：
即求證當 \(m>n>1\) 時，滿足：
即求證當 \(x>1\) 時，函式 \(y=\frac{x-1}{\ln x}\) 為增函式。
如果一個函式在一個區間上為增函式，那麼其函式值就是不斷增加的，也就是說它的變化速度 \(y'\) 在這個區間上恆正。我們求導這個函式，得到：
其分母恆正，那麼原不等式成立當且僅噹噹 \(x>1\) 時， \(u=\ln x +\frac{1}{x}>1\) 。
當 \(x=1\) 時， \(u=\ln x +\frac{1}{x}=1\) ；那麼只須證當 \(x>1\) 時， \(u'>0\) 即可，因為這樣函式值從 \(1\) 開始不斷增加，就滿足關於 \(y'\) 的不等式。於是：
顯然當 \(x>1\) 時， \(u'>0\) 。那麼原不等式成立。
—3.求三次方程近似解
計算方程 \(x^3-2x^2-4x-7=0\) 的近似解，精確到 \(0.001\) 。
我們首先估計根的範圍。令函式 \(f(x)=x^3-2x^2-4x-7\) ，那麼 \(f(3)=-10<0\) ， \(f(4)=9>0\) ，那麼函式的零點就應該在開區間 \((3,4)\) 上。
那麼怎麼繼續精確我們的估計呢？注意到函式一點的切線描述了函式在這一點附近的變化情況，那麼用一點的切線代替這一點的函式，就能簡化計算而得到較為精確的估計了。於是求出該函式在點 \(x=x_0\) 的切線方程為：
其零點值為：
回到本題，我們從 \(x=4\) 開始，使用這個式子不斷迭代（如前面的圖）：
我們發現 \(x_3\approx x_4\) ，精度達到，故原方程的解 \(x_{root}\approx 3.632\) 。
用切線代替原函式不斷迭代求得零點的方法，被稱為“牛頓法”。
—4.簡諧振動
一彈簧每一時刻的震動位移可用函式 \(x=A\sin \omega t\) 描述，求彈簧震動的瞬時速度 \(v\) 和瞬時加速度 \(a\)
速度是位移對時間的導數：
故位移為 \(0\) 時，速度最大；位移最大時，速度為零。
加速度是速度對時間的導數，位移對時間的二階導數：
即加速度大小與位移成正比，方向與位移相反。根據牛頓第二定律 \(F=ma\) ，得出彈力 \(F=-m\omega x\) ，也就是胡克定律 \(F=-kx\) 。
微分的世界已在我們眼前展開。描述函式的變化速度，並通過這對函式加以分析研究，便是微分學的任務。用一點的切線描述原曲線在該點附近的變化，便是微分的核心。下一章，我們將基於微分學三大中值定理，將導數與原函式的性質緊密聯絡起來，使導數與微分真正稱為研究函式區域性性質的利器。
牛頓與萊布尼茨關於微積分發明權的論戰至今未止，目前通行的說法是兩人從不同角度相互獨立地發展出微積分。本章選擇從牛頓的角度（即運動學的角度）對導數與微分加以闡釋，導數的記號使用牛頓的記號（這是由於一開始（即在引入嚴謹的微分定義以前）容易把萊布尼茨的記號看作分數，造成不必要的混亂）。 ↩︎
據作者本人所知，蘇聯的教材慣用牛頓記號 \(y'\) ，而美國教材慣用萊布尼茨記號\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\) ，有一些數學軟體中，用在函式名上加撇號 \('\) 或用記號 \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\) 後接函式的方法表示求導。 ↩︎
當導數的階數足夠低（如三階及以下），我們可以在函式名上加撇號 \('\) 表示。當階數較高或含有字母時，一般用括號 \(()\) 包裹階數表示。有時為了普遍性，認定零階導數為函式本身，即 \(y^{(0)}=y\) 。 ↩︎
我們把微分的冪次 \((\text{d}x)^n\) 記作 \(\text{d}x^n\) ，而冪函式 \(x^n\) 的微分記作 \(\text{d}(x^n)\) ，兩者有本質的不同。 ↩︎