導數與微分、梯度

我忘了我的PIN了發表於2020-10-26
梯度

1、高階、低階、同階、k階、等價無窮小的概念

例，低階無窮小的概念： lim ⁡ β α = 0 \lim\frac{\beta}{\alpha}=0 limαβ​=0,記為 β = ο ( α ) \beta=\omicron(\alpha) β=ο(α)

2、極限->導數->微分

2.1導數的定義

f ′ ( x ) = lim ⁡ n → ∞ f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f'(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} f′(x)=n→∞lim​Δxf(x+Δx)−f(x)​

Δ y Δ x = f ′ ( x ) + α \frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)+\alpha ΔxΔy​=f′(x)+α

Δ y = f ′ ( x ) Δ x + α Δ x \Delta y=f'(x)\Delta x +\alpha\Delta x Δy=f′(x)Δx+αΔx

α Δ x = ο ( x ) \alpha\Delta x=\omicron(x) αΔx=ο(x)

2.2古典微分模型 d y = Δ y \mathrm{d}y=\Delta y dy=Δy

2.3極限微分學 d y ≈ Δ y \mathrm{d}y \approx \Delta y dy≈Δy

這裡的 ≈ \approx ≈說明了微分是變化的逼近，而不是變化本身

記 d y = f ′ ( x ) Δ x \mathrm{d}y=f'(x)\Delta x dy=f′(x)Δx

2.4求導與微分，兩者的結合需要極限的思想

3、梯度

3.1要了解偏導數的定義

3.2方向導數的定義

∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ t → 0 + f ( x 0 + t c o s α , y 0 + t c o s β ) − f ( x 0 , y 0 ) t \frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)}=\lim_{t \to 0^+}\frac{f(x_0+tcos\alpha,y_0+tcos\beta) - f(x_0,y_0)}{t} ∂l∂f​∣(x0​,y0​)​=t→0+lim​tf(x0​+tcosα,y0​+tcosβ)−f(x0​,y0​)​

3.3梯度的定義

梯度是一個向量，其方向上的方向導數最大。具有一階連續偏導數，意味著可微。可微意味著函式[公式] 在各個方向的切線都在同一個平面上，也就是切平面

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