複變函式與積分變換 洛朗級數

簡析
洛朗級數是包括正負次冪的級數，它可以表示圓環上的解析函式，它的性質大多都是有冪級數的性質產生的。
洛朗定理
設函式f(z)在圓環域R1 < | z-z0 |< R2 內處處解析，則f(z)一定能在此圓環域中展開為
f(z) = ∑（下標 n = -∞ 上標 ∞）Cn(z - z0)ⁿ ,
其中
Cn = 1/2πi∮ f(ζ) / (ζ - z0)ⁿ⁺¹ dζ (n=0 , ±1，±2 …),
而C為此圓環域內繞z0的任意簡單閉曲線
上述成為函式f(z)在意z0為中心的圓環域：R1< | z-z0 | <R2內的洛朗展開式，其右端的係數稱為f(z)在此圓環域內的洛朗級數

後續
函式在一點解析的充分必要條件是它在這點的鄰域內可以展開為冪級數
常見的泰勒展開式（泰勒展開式其實就是洛朗展開式的特殊情況）
1 / ( 1 - z) = ∑(下標 n = 0 上標 ∞) zⁿ | z | < 1
1 / ( 1 + z) = ∑(下標 n = 0 上標 ∞)(-z)ⁿ | z | < 1
e^x= 1 + z/1! + z²/2! + ……+zⁿ/n!+……
sinz = ∑（下標 n = 0 上標 ∞）(-1)ⁿz²ⁿ⁺¹/(2n+1)!
= z - z³/3!+z⁵/5!+……+(-1)ⁿz²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+……， | z | < +∞
cosz = ∑（下標 n = 0 上標 ∞）(-1)ⁿz²ⁿ/(2n)!
= z - z²/2!+z⁴/4!+……+(-1)ⁿz²ⁿ/(2n)!+……， | z | < +∞