前言
這年頭不會微積分幹什麼都不行啊
一.微積分
微積分其實就只有兩種運算，一種是求導，另一種是求不定積分。並且其為互逆運算
導數
導數的定義
導數（Derivative），也叫導函式值。又名微商，是微積分中的重要基礎概念。當函式y=f(x)的自變數x在一點x0上產生一個增量Δx時，函式輸出值的增量Δy與自變數增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'(x0)或df(x0)/dx。——百度百科
- 簡而言之，所謂導數所反映的就是一個函式的變化趨勢，其同樣是一個函式。設 \(f'(x)\) 為 \(f(x)\) 的導數，那麼 \(f'(x_0)\) 就是 \(f(x)\) 的影像上過橫座標為 \(x_0\) 的點的切線的斜率。
- 講的更容易理解一點，我們先拋開所有關於微積分的什麼極限啊什麼的。僅僅考慮一個問題：什麼是變化率？
- 你可能會說：“變化率就是 \(\Delta y\) 和 \(\Delta x\) 的比值。”確實，就是這樣。它反映的是一個變化的趨勢，就是隨著橫座標 \(x\) 的變化，縱座標 \(y\) 變化了多少。如果變化率越大，那麼相應的，\(y\) 的變化就會越大。
- 而導數的本質就是變化率，只不過將其放在了一個十分微小的範圍內。可以近似地看成影像在某個點的變化率。
- 那麼這裡有一個關於導數的悖論：“一個函式的導數所反映的是該函式在每個點時的變化率。”但一個點談何變化？它連 \(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 都沒有。
- 所以，不要把這當做導數的定義，別把導數看成某一點瞬時的變化率，而是看成某一點附近的變化率的最佳近似。
導數的求法
普通函式
-
這個很簡單，按照定義來就行了。
-
我們假設一個函式在 \(x_0\) 處產生了一個非常小的增量 \(dx\) ，同時導致了縱座標的增量 \(df\) ，那麼根據定義，其導數即為 \(\frac{df}{dx}\) 。
-
以 \(f(x)=x^2\) 為例：
\[\begin{aligned} \frac{df}{dx} &=\frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx}\\ &=\frac{x_0^2+2dx\cdot x+dx^2-x_0^2}{dx}\\ &=2x+dx \end{aligned}\\ f'(x)=\lim_{dx\rightarrow 0} \frac{df}{dx}=\lim_{dx\rightarrow 0} 2x+dx=2x \]當 \(dx\) 無限趨近於 \(0\) 時，我們可以將其省略，那麼 \(\frac{df}{dx}=2x\) 。所以函式 \(f(x)=x^2\) 的導數為 \(f'(x)=2x\) 。
-
但是，有沒有更直觀的方法呢？我可不想每次求導數的時候都去這樣推一遍。自然是有的。用幾何法也可以證明。
-
讓我們假設現在有一個邊長為 \(x\) 的正方形，那麼它的面積就為 \(x^2\) ，該函式的函式值。此時如果該正方形的邊長增加一個很小的量 \(dx\) ，那麼它的面積 \(ds\) 就會增加 \(dx\cdot x+dx\cdot +dx^2\) ，因為 \(dx\) 本身就是一個極小的值，那麼其平方會變得更小，我們可以直接忽略不計。那麼 \(\frac{ds}{dx}\) 的值就為 \(2x\) ，與我們用代數法算出來的答案是一樣的。
-
假如我們學過微積分，這時我們就會發現，導數裡面的係數 \(2\) 居然和原函式的指數 \(2\) 相同！這是巧合嗎？顯然不是。我們試著寫出函式 \(f(x)=x^3\) 的導數 \(f'(x)=3x^2\)，發現居然和二次函式一樣。那是不是…… -
好吧我坦白，這就是冪函式的共性……除此之外，還有許多其他類的函式也具有相同的性質：
- \(C'=0\) （\(C\) 為任意常數）
- \((x^a)'=ax^{a-1}\)
- \((e^x)'=e^x\)
- \((\ln\:x)'=\frac{1}{x}\)
-
我們發現這個裡面有一個非常神奇的函式 \(e^x\) ，它的導數居然是它自己。怎麼說呢，其實自然常數 \(e\) 就是這樣定義的。我們對任意指數函式求導，以 \(2^x\) 為例：
\[(2^x)'=\frac{2^{x+dx}-2^x}{dx}=\frac{2^x\cdot 2^{dx}-2^x}{dx}=2^x\cdot \frac{2^{dx}-1}{dx} \]當 \(dx\) 趨近於 \(0\) 的時候，\(\frac{2^{dx}-1}{dx}\) 會趨近於某個常數。也就是說，\(2^x\) 的導數是它自己乘上一個固定的常數。說到這裡你可能就明白了，自然常數 \(e\) 的值即為 \(\lim_{dx\rightarrow 0}\frac{e^{dx}-1}{dx}=1\Rightarrow e=\lim_{dx\rightarrow 0}(dx+1)^{\frac{1}{dx}}\)
再多說一點，其實 \(2^x\) 的導數的那個常數就是 \(\ln\:(2)\) 。為什麼？看完複合函式的求導就知道了。
非普通函式
普通函式適用的範圍畢竟還是太小了，生活中大多數函式都為非普通函式，還是要掌握其求導方法。
-
非普通函式的求導滿足一下三個規則：
- 和規則：\(\begin{aligned}\left(f(x)+g(x)\right)'&=f'(x)+g'(x)\\ \left(af(x)\right)'&=af'(x)\end{aligned}\)
- 積規則：\(\left(f(x)\cdot g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) （左乘右導，右乘左導）
- 鏈規則：\(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=g'(x)f'\left(g(x)\right)\)
-
這三種規則都有其直觀的幾何理解，就比如積規則，可以想象一個分別以兩個函式的函式值為邊長的長方形，看其面積隨著邊長怎樣變化。鏈規則則可想象三根數軸，各個因變數是如何隨著各自的自變數的變化而變化。
-
類似的方法還有很多，就不再贅述了。
-
講一講之前的那個指數函式求導的常數證明吧：
\[(2^x)'=\left(e^{\ln(2)x}\right)'=\ln(2)\left(e^{\ln(2)}\right)^x=\ln(2)\cdot2^x \]
高階導數
- 我們把一個函式導數的導數稱作二階導數，其所反映的是該函式的導數的變化量，即變化量的變化量。
- 三階導數以及更高階的導數以此類推。
- 舉個例子：速度是路程的導數，而加速度是速度的導數，所以加速度是路程的二階導數。
- 所以對於冪函式來說，其不斷求導的過程就是不斷地降冪 ，並且係數會以連乘 \(\prod\) 的形式存在。因為每一次求導，都會將係數乘以當前的指數，並且指數減一。
- \(For\:instance:f(x)=x^{10}\Rightarrow f^{(5)}(x)=\left(\prod_{i=6}^{10}i\right)x^5\)
積分
積分的定義
積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於一個給定的正實值函式，在一個實數區間上的定積分可以理解為在座標平面上，由曲線、直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實數值）。——百度百科
- 對於積分來說，就理解成面積就好了。
- 積分分為定積分和不定積分兩種。定積分為一個確定的數值，而不定積分則是一個函式。
- 求不定積分和求導數互為逆運算。為什麼？我們假設 \(f(x)\) 圍成的面積的函式為 \(g(x)\) ，橫座標增加 \(dx\) ，那麼面積的增加量 \(ds\) 可以近似地看做一個長方形，那麼 \(g'(x)=\frac{ds}{dx}\)，就是當前長方形的高，恰好就是 \(f(x)\) 的函式值。
積分的求法
- 很簡單，因為求不定積分和求導數是一對互逆運算，那麼我們就可以根據已知的導數反推出原函式。
- 如上面的幾個導數求不定積分：
- \(\int 0dx=C\)
- \(\int x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C\)
- \(\int e^xdx=e^x+C\)
- \(\int x^{-1}dx=\ln x+C\)
二.泰勒級數
在數學中，泰勒級數（英語：Taylor series）用無限項連加式——級數來表示一個函式，這些相加的項由函式在某一點的導數求得。——百度百科
-
說白了，泰勒級數就是用一個多項式去模擬一個函式，至少在 \(OI\) 中是這樣的，可以用於牛頓迭代的推導以及生成函式的變形。
-
我們將多項式看做一個函式，那麼問題就變成了如何用一個函式去模擬另外一個函式。
-
我們先從 \(x=0\) 下手
（因為簡單） -
如果兩個函式影像一樣的話，那麼至少在 \(x=0\) 時的函式值要相等吧，所以我們讓其的常數項相等。
-
如果兩個函式影像一樣的話，那麼至少在\(x=0\) 附近的變化趨勢要相等吧，所以我們讓其導數相等。
-
如果兩個函式影像一樣的話，那麼至少在\(x=0\) 附近的變化趨勢的變化趨勢要相等吧，所以我們讓其二階導數相等。
-
……
-
可以證明，在 \(x=0\) 時，\(g(x)\) 的 \(n\) 階導數只與 \(x^n\) 的係數有關係，因為之前的求導時已經變成 \(0\) ，而後邊的因為含有 \(x\) 而為 \(0\)
-
那麼在 \(x=0\) 時我們就得到了函式 \(f(x)\) 的近似擬合函式
\[g(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\ldots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \] -
這個叫做麥克勞林級數。
-
等等，那泰勒去哪兒了？
-
剛剛所展現的是在 \(x=0\) 附近擬合的過程。只需稍作替換，就可以在任意地方 \(x=x_0\) 處擬合了。這就是泰勒級數：
\[g(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \] -
所以麥克勞林級數只是泰勒級數在 \(x=0\) 的特殊情況。
-
下面是我在 \(Geogebra\) 上所擬合的 \(\cos(x)\) 以及 \(e^x\) ：
-
數學真的是一門美妙的學科。
一些有趣的東西
-
為什麼圓的面積公式為 \(\pi r^2\) ？我們可以嘗試將圓分成許許多多的圓環，並且將其展平，近似地看做一個個長方形。然後將他們由小到大放在座標軸上。當相差的半徑足夠小的時候，就可以看作是一個底為 \(r\) （半徑），高為 \(2\pi r\) （周長）的三角形，故得圓的面積公式。
-
為什麼三角形鄰邊比上斜邊叫做餘弦？因為餘弦函式是正弦函式的導數。即
\[\begin{aligned} \sin'(x)&=\cos(x)\\ \cos'(x)&=-\sin(x)\\ \left(-\sin(x)\right)'&=-\cos(x)\\ \left(-\cos(x)\right)'&=\sin(x) \end{aligned} \]
——2021年2月8日