偶函式在零點的泰勒展開式相關知識點

步驟1: 理解偶函式的定義

• 偶函式是指滿足 f(x)=f(−x)f(x) = f(-x)f(x)=f(−x) 的函式。這意味著偶函式關於 yyy 軸對稱。

步驟2: 理解泰勒展開

• 泰勒展開是一種將函式表示為無窮級數的方法，它在函式在某一點的所有導數都存在的情況下非常有效。對於函式 f(x)f(x)f(x) 在零點的泰勒展開式，可以表示為：

f(x)=f(0)+f′(0)1!x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+⋯f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdotsf(x)=f(0)+1!f′(0)​x+2!f′′(0)​x2+3!f′′′(0)​x3+⋯

步驟3: 考慮偶函式的泰勒展開式

• 對於偶函式，由於 f(x)=f(−x)f(x) = f(-x)f(x)=f(−x)，可以推匯出其所有奇數階導數在零點處均為零，即 f′(0)=f′′′(0)=f(2n+1)(0)=0f'(0) = f'''(0) = f^{(2n+1)}(0) = 0f′(0)=f′′′(0)=f(2n+1)(0)=0。

步驟4: 寫出偶函式在零點的泰勒展開式

• 因為所有奇數階導數在零點處為零，所以偶函式在零點的泰勒展開式只包含偶數項：

f(x)=f(0)+f′′(0)2!x2+f(4)(0)4!x4+⋯f(x) = f(0) + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4 + \cdotsf(x)=f(0)+2!f′′(0)​x2+4!f(4)(0)​x4+⋯

最終答案 偶函式在零點的泰勒展開式是：

f(x)=f(0)+f′′(0)2!x2+f(4)(0)4!x4+⋯f(x) = f(0) + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4 + \cdotsf(x)=f(0)+2!f′′(0)​x2+4!f(4)(0)​x4+⋯

關鍵概念 偶函式的泰勒展開。

關鍵概念解釋 泰勒展開是一種將函式表示為多項式的技術。對於偶函式，由於其關於 yyy 軸對稱，其奇數階導數在零點處均為零。因此，偶函式的泰勒展開式只包含偶數項。這種特性使得偶函式的泰勒展開比一般函式的泰勒展開更為簡潔。

為什麼其所有奇數階導數在零點處均為零

步驟1: 理解偶函式的對稱性

• 偶函式滿足 f(x)=f(−x)f(x) = f(-x)f(x)=f(−x)。這意味著偶函式關於 yyy 軸對稱。

步驟2: 偶函式的導數性質

• 我們透過對偶函式的對稱性進行推導，來說明其奇數階導數在零點處為零。

步驟3: 考慮一階導數 f′(x)f'(x)f′(x) 的對稱性

• 假設 f(x)f(x)f(x) 是偶函式，那麼 f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)f(−x)=f(x)。對這個等式兩邊關於 xxx 求導：

ddx[f(−x)]=ddx[f(x)]\frac{d}{dx} [f(-x)] = \frac{d}{dx} [f(x)]dxd​[f(−x)]=dxd​[f(x)]

步驟4: 利用鏈式法則求導

• 右邊是 f′(x)f'(x)f′(x)，左邊根據鏈式法則是 −f′(−x)-f'(-x)−f′(−x)，因為導數涉及到負號：

−f′(−x)=f′(x)-f'(-x) = f'(x)−f′(−x)=f′(x)

• 這意味著 f′(x)f'(x)f′(x) 是奇函式，即 f′(−x)=−f′(x)f'(-x) = -f'(x)f′(−x)=−f′(x)。特別地，當 x=0x = 0x=0 時：

f′(0)=−f′(0)f'(0) = -f'(0)f′(0)=−f′(0)

• 這隻能說明 f′(0)=0f'(0) = 0f′(0)=0。

步驟5: 推廣到高階導數

• 偶函式的二階導數是偶函式，三階導數是奇函式，四階導數是偶函式，依此類推。繼續推導高階導數：

對於 f(n)(x)f^{(n)}(x)f(n)(x)：

• 如果 nnn 為奇數，f(n)(x)f^{(n)}(x)f(n)(x) 是奇函式，即 f(n)(−x)=−f(n)(x)f^{(n)}(-x) = -f^{(n)}(x)f(n)(−x)=−f(n)(x)，因此 f(n)(0)=0f^{(n)}(0) = 0f(n)(0)=0。

• 如果 nnn 為偶數，f(n)(x)f^{(n)}(x)f(n)(x) 是偶函式，即 f(n)(−x)=f(n)(x)f^{(n)}(-x) = f^{(n)}(x)f(n)(−x)=f(n)(x)，這不影響其在零點的值。

最終答案 所有奇數階導數在零點處均為零是因為偶函式的對稱性導致其奇數階導數為奇函式，而奇函式在零點的值為零。