淺談分層圖

# 用途

- 解決一些在帶權圖中，最多 $k$ 次優惠**一條邊權**

# 基本步驟

1. 分成 $k+1$ 層，從 $0$ 好開始，每層圖與原圖一樣。其中第 $i$ 層圖是用了 $i$ 次優惠到達的圖。
2. 對於所有邊，若在第 $i$ 層圖中，那麼就新連一條邊從 $u$ 指向第 $n+1$ 層圖的 $v$，權值為**優惠的值**。
3. 再跑 $dij$ 或 $spfa$ 就行了

# 例題

## [P4568 [JLOI2011] 飛行路線](https://www.luogu.com.cn/problem/P4568)

### 思路

我的評價：板子

直接按照基本步驟寫，優惠的值就是 $0$

### 注意事項

1. 一定要建雙向邊
2. 如果用前向星，陣列記得開大一點

### 程式碼

```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define se second
const int N=1e6+5;
int n,m,k;
int s,t;
int et=0,head[110005];
struct edge
{
	int v,w,nxt;
}e[2500005];
inline void add(int u,int v,int w=0)
{
	et++;
	e[et].v=v,e[et].w=w,e[et].nxt=head[u];
	head[u]=et;
}
int dis[110005],vis[110005];
void dij()
{
	memset(dis,0x3f,sizeof dis);
	dis[s]=0;
	priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > q;
	q.push(make_pair(0,s));
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.top().se;
		q.pop();
		if(vis[u])continue;
		vis[u]=1;
		for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
		{
			int v=e[i].v,w=e[i].w;
			if(dis[v]>dis[u]+w)
			{
				dis[v]=dis[u]+w;
				q.push(make_pair(dis[v],v));
			}
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s,&t);
	for(int i=1,u,v,c;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
		add(u,v,c);
		add(v,u,c);
		for(int j=1;j<=k;j++)
		{
			add(u+(j-1)*n,v+j*n);
			add(v+(j-1)*n,u+j*n);
			add(u+j*n,v+j*n,c);
			add(v+j*n,u+j*n,c);
		}
	}
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		add(t+(i-1)*n,t+i*n);
	}
	dij();
	cout<<dis[t+k*n];
	return 0;
}