對 \(f(x)=g(x,h(x))\) 泰勒展開：
\[\begin{aligned}
f(x)&=g(x,h(x))\\
f(x+t)&=g(x+t,h(x+t))=g(x+t,h(x)+th'(x)+t^2h''(x)/2+O(t^3))\\
f(x)+f'(x)t+f''(x)t^2/2+O(t^3)&=\\
f(x)+g_xt+g_yth'(x)&+g_yt^2h''(x)/2+t^2g_{xx}/2+t^2h'(x)g_{xy}+t^2h'^2(x)g_{yy}/2+O(t^3)\\
\end{aligned}
\]
所以 \(f'(x)=g_x+g_yh'(x),f''(x)=g_{xx}+2h'(x)g_{xy}+h'^2(x)g_{yy}+g_yh''(x)\)。
這裡很容易漏掉 \(g_yh''(x)\) 這一項，因為它來自 \(g\) 的一階偏導，但是卻貢獻到了 \(h\) 的二次項上。
如果要展到三次項或更高，需要注意還會出現 \(h(x+t)\) 的泰勒展開內部的交叉項。