對映是一種對應關係。
函式是一種對映，將變數間的關係形式化為數學描述。
令(y = f(x))，即(y)是(x)的函式，可以是(y = 2x + 1)，也可以是(y = sin(x))。(x)的變化將引起(y)的變化，(x)的變化量( riangle x)導致(y)變化( riangle y)，當變化量很小（趨近於0）時，為瞬間變化量，記為(dx)和(dy)，瞬間變化量之比為瞬間變化率，即(frac{dy}{dx})。瞬間變化率(frac{dy}{dx})乘以(x)的瞬間變化量(dx)為(y)的瞬間變化量(dy)。
導數（Derivative），是對瞬間變化率的衡量，即(frac{dy}{dx})，導數也是函式，衡量每個(x)位置處的瞬間變化率。而微分（Differential，differentiation， differential calculus），指的是求導數——通過求瞬間變化量的關係來求導數。
當(x)為單變數時，導數為
[f`(a) = frac{dy}{dx}
vert _{x=a} = lim_{h
ightarrow 0} frac{f(a + h) – f(a)}{h}]
每個位置處的導數如下
基本初等函式包括：冪函式、指數函式、對數函式、三角函式、反三角函式、常數函式。
基本初等函式通過四則運算和複合可以得到複雜函式，其中減法與加法等價，除法與乘法等價：
- 加法（減法）：(f(x)+g(x))
- 乘法（除法）：(f(x)g(x))
- 複合：(f(g(x)))
加法的求導可以理解為變化量（率）的疊加，即(f` + g`)；
乘法的求導可以理解為矩形面積的變化率，將(f(x))和(g(x))看成矩形的邊長，導數為$(frac{(f + df)(g+dg)}{dx})，在(dx)趨近於0時，面積增量為(fdg+gdf)（忽略了極小項），即導數為(f`g+fg`)。如下
複合函式的求導可以理解為變化率的傳遞，(y = f(u))，(u=g(x))，(x)的變化引起(u)的變化，(u)的變化引起(y)的變化，即(dy=frac{dy}{du} du =frac{dy}{du} frac{du}{dx} dx)，(frac{dy}{dx}= frac{dy}{du} frac{du}{dx})，此為鏈式法則，(f`(x) = f`(g(x)) g`(x))。變化量的傳遞如下：
可以令(x)變化一個極小量如( riangle x=0.000001)，帶入函式求(y)的變化量( riangle y)，用(frac{ riangle y}{ riangle x})來估計(x)位置的導數，但這無疑是費時費力的，常見函式的導數一般都存在解析形式，如下：
