11.2 第二型曲線積分

引入

向量場是指分佈在空間中的一個向量值函式：給定空間的座標輸出一個（可以看作位於這一點座標的）向量。典型的例子有力場，電場。

設想一個質點在力場 \(\boldsymbol{F}\) 的作用下, 自 \(\Gamma\) 的起點 \(\boldsymbol{A}\) 運動到終點 \(\boldsymbol{B}\), 我們要來計算力場所做的功, 稱之為力場 \(F\) 在有向曲線 \(\Gamma\) 上所做的功. 從 \(A\) 到 \(B\) 在 \(\Gamma\) 上插人若干分點 \(\left\{\boldsymbol{r}_i: i=0,1, \cdots, n\right\}\), 使得 \(\boldsymbol{r}_0=\boldsymbol{A}, \boldsymbol{r}_n=\boldsymbol{B}\). 如果這些分點足夠細密, 那麼質點沿著由 \(\boldsymbol{r}_{i-1}\) 到 \(\boldsymbol{r}_i\) 這一段弧 \(\widehat{\boldsymbol{r}_{i-1} \boldsymbol{r}_i}\) 上的運動, 可以看成是在直線段 \(\overline{\boldsymbol{r}_{i-1} \boldsymbol{r}_i}\) 上的運動, 並且在這一段弧上, 力場 \(\boldsymbol{F}\) 基本上是一常力 \(\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{\xi_i}\right)\), 其中點 \(\boldsymbol{\xi_i}\) 可以在這一段弧上任取. 這一段有方向的弧段 \(\widehat{\boldsymbol{r}_{i-1} \boldsymbol{r}_i}\) 稱為 \(\Gamma\) 的第 \(i\) 段, 在這一段上力場 \(F\) 所做的功

\[W_i \approx \boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{\xi}_i\right) \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{r}_{i-1} \boldsymbol{r}_i}=\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{\xi}_i\right) \cdot\left(\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_{i-1}\right), \]

因此力場 \(F\) 在 \(\Gamma\) 上所做的功

\[W \approx \sum_{i=1}^n \boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{\xi}_i\right) \cdot \Delta \boldsymbol{r}_i, \]

這裡 \(\Delta \boldsymbol{r}_i=\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_{i-1}(i=1,2, \cdots, n)\). 如果我們要得到 \(W\) 的精確值, 那就應當把這種分割“無限細分”下去.
定義
定義 11.2.1 設 \(\Gamma\) 是 \(\mathbf{R}^3\) 中一段可求長的有向曲線,對映 \(F: \Gamma \rightarrow \mathbf{R}^3 \cdot \Gamma\) 的起點記為 \(\boldsymbol{A}\), 終點記為 \(\boldsymbol{B}\). 在 \(\Gamma\) 上按從 \(\boldsymbol{A}\) 到 \(\boldsymbol{B}\) 的方向順次取一列點 \(\left\{\boldsymbol{r}_i: i=0,1, \cdots\right.\), \(n\}\), 使得 \(\boldsymbol{r}_0=\boldsymbol{A}, \boldsymbol{r}_n=\boldsymbol{B}\). 令 \(\Delta \boldsymbol{r}_i=\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_{i-1}(i=1,2, \cdots, n)\). 如果對在 \(\Gamma\) 的弧段 \(\widehat{\boldsymbol{r}_{i-1} \boldsymbol{r}_i}\) 上任取的點 \(\boldsymbol{\xi_i}\), 極限

\[\lim _{\max \left\|\Delta \boldsymbol{r_i}\right\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{\xi}_i\right) \cdot \Delta \boldsymbol{r}_i\tag{1} \]

為一確定的有限數, 則將這個數記為

\[\int_{\Gamma} \boldsymbol{F(r)} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r},\tag{2} \]

稱它是向量值函式 \(F\) 沿有向曲線 \(\Gamma\) 上的第二型曲線積分.

注意(1)(2)式中的乘號都是所謂的“向量點乘”，具體緣由仔細讀一讀引入就可以知道。

展布在空間中（也可以只在所求曲線上有定義）的一個向量值函式（向量場）可以定義第二型曲線積分。

定向
第二型曲線積分有一個第一型曲線積分沒有的性質,那就是它的方向性. 設 \(\Gamma\) 是一條有向曲線,如果我們把它的走向顛倒過來,得出的另一條定向曲線記為 \(-\Gamma\). 則

\[\int_{\Gamma} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{p}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{p}=-\int_{-\Gamma} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{p}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{p} . \]

這是因為走向顛倒以後對應點向量值函式的輸出向量不會變，但是(1)式和(2)式中的向量\(\Delta r_i\)和\(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\)都會反向。

由此可見,如果我們沒有把定向弄正確,那麼計算的結果就差一個負號.
計算
設 \(\Gamma\) 是 \(\mathbf{R}^3\) 中一段可求長的有向曲線, 連續對映 \(F: \Gamma \rightarrow \mathbf{R}^3\). 又設 \(\Gamma\) 具有連續可微引數向量方程 \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)\), 並且引數 \(t\) 的增加對應著 \(\Gamma\) 的定向,那麼有

\[\int_{\Gamma} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=\int_\alpha^\beta \boldsymbol{F} \circ \boldsymbol{r}(t) \cdot \boldsymbol{r}^{\prime}(t) \mathrm{d} t.\tag{3} \]

和上一節一樣的道理，有了引數方程以後，曲線上的分點對應到引數區間的分點，再對\(\Delta r_i\)用中值定理作一些處理即可。細節不建議深究。

另一種形式
令 \(\boldsymbol{r}=(x, y, z)\) 表示曲線 \(\Gamma\) 上的徑向量, 那麼 \(\mathrm{d} \boldsymbol{r}=(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z)\). 設 \(\boldsymbol{F}=\) \((P, Q, R)\)

注意此時P，Q，R已經是展布在曲線上的標量函式

,於是

\[\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z \]

因此, 第二型曲線積分 (2) 又有一種記法:

\[\int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z \]

計算
和(3)式相對應，我們有

\[\begin{align} \int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z = & \int_\alpha^\beta\left(P(x(t), y(t), z(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t), z(t)) y^{\prime}(t)\right. \\ & \left.\quad+R(x(t), y(t), z(t)) z^{\prime}(t)\right) \mathrm{d} t \tag{4}. \end{align} \]

總之難點還是在找曲線的參數列達，有參數列達以後剩下的就是一個單變數積分計算的問題