點積

公式

1. \(a\cdot b=\sum_{i=1}^na_ib_i\)
2. \(a\cdot b=\lVert a\rVert\lVert b\rVert\cos\theta\) ，若a，b是單位向量則\(a\cdot b=\cos\theta\)
3. \(\theta=\arccos\left(\frac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\lVert b\rVert}\right)\)，若a，b是單位向量則\(\theta=\arccos\left(a\cdot b\right)\)

推導

根據餘弦定理，可知
\(\lVert P-Q\rVert^2=\lVert P\rVert^2+\lVert Q\rVert^2-2\lVert P\rVert\lVert Q\rVert\cos\alpha\)
展開可得
\(\sum_{i=1}^n(P_i-Q_i)^2=\sum_{i=1}^nP_i^2+\sum_{i=1}^nQ_i^2-2\lVert P\rVert\lVert Q\rVert\cos\alpha\)
即
\(\sum_{i=1}^nP_i^2-2\sum_{i=1}^nP_iQ_i+\sum_{i=1}^nQ_i^2=\sum_{i=1}^nP_i^2+\sum_{i=1}^nQ_i^2-2\lVert P\rVert\lVert Q\rVert\cos\alpha\)
兩邊消去\(\sum_{i=1}^nP_i^2+\sum_{i=1}^nQ_i^2\)，同時兩邊除以-2，得
\(\sum_{i=1}^nP_iQ_i=\lVert P\rVert\lVert Q\rVert\cos\alpha\)

應用

點積結果越大，兩向量越相近

a·b	θ	向量a和向量b
>0	0°≤θ＜90°	方向大致相同
=0	θ≤90°	正交（垂直）
<0	90°＜θ≤180°	方向基本相反