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設函式 \(u=u(x)\) 及 \(q = q(x)\) 具有連續導數，則有下述積分公式:
\[\int u q' dx=u q-\int u' q dx ,\quad (式0.0.1)
\]
prove
因為 \(u=u(x)\) 及 \(q = q(x)\) 具有連續導數，根據導數乘法公式得:
\[
\begin{align}
(u q)'=u' q + u q'
\\ \\
\Rightarrow u q'=(u q)'-u' q
\\ \\
(uq)^{\prime}+C\Rightarrow\int(u^{\prime}q+uq^{\prime})dx
=\int u^{\prime}qdx+\int uq^{\prime}dx
\\ \\
u^{\prime}q+C\Rightarrow q\int u^{\prime}dx
\\ \\
uq^{\prime}+C\Rightarrow u\int q^{\prime}dx
\\ \\ \\
(uq)^{\prime}-u^{\prime}q=\int u^{\prime}qdx+\int uq^{\prime}dx
-q\int u^{\prime}dx
\\ \\
=\int uq^{\prime} dx=uq^{\prime}
\\ \\
\therefore \int uq^{\prime}dx=\int(uq)^{\prime}dx-\int u^{\prime}qdx
\\ \\ \\
又因為uq之導為(uq)', \enspace 即(uq)'之原函式為 uq
\\ \\
\therefore \int (uq)'dx=uq+C
\\ \\
\therefore \int uq^{\prime}dx=uq-\int u^{\prime}qdx
\\ \\ \\
綜述: \int uq^{\prime}dx=\int(uq)^{\prime}dx-\int u^{\prime}qdx
=uq-\int u^{\prime}qdx
\end{align}
\]
noticeable
(式0.0.1)被稱為分部積分公式，如果求\(\int u q' dx\)更難，而求\(\int u' q dx\)更容易時，就可以用分部積分公式去解決
(式0.0.1)可以簡寫為下面形式:
\[\int u d q=u q - \int q du,\quad (式0.0.2)
\]
採用積分公式(式0.0.2)求 \(\int f(x)dx\) 時，關鍵在於把原積分\(\int f(x)dx\)化為\(\int ud q\)的形式。
選取函式 \(u(x)\) 與 \(q(x)\) 時，一般考慮下面兩點:
-
由 \(q'\) 易求 \(q\)
-
\(\int q du\) 要比 \(\int u d q\) 易求出
一般地，求解不定積分之時，若被積函式屬於五類基本函式(冪函式、對數函式、指數函式、三角函式、反三角函式)之中任意兩類函式的乘積之時，
往往要採用分部積分法，並按照“反、對、冪、指、三”的函式位置順序，將位置靠前的函式設為\(u\)，靠後的函式設為\(q'\)