作者：Grey
原文地址： 最長遞增子序列
問題描述
說明：這裡的遞增指的是嚴格遞增，相等的時候不算遞增。
暴力解法
dp[i]表示：
必須以i位置結尾的最長遞增子序列是多少，如果求出了每個位置的
dp[i]值，最大的dp[i]值，就是最長遞增子序列的長度
顯而易見
dp[0] = 1; // 必須以0位置結尾的最長遞增子序列顯然是1
針對一個普遍位置i，dp[i]至少是1，那dp[i]還能擴多少呢？取決於[0,i)之間的位置j，如果arr[j] < arr[i]，那麼dp[i]可以是dp[j]+1。每次來到i位置，都遍歷一下[0,i)之間的j位置的值是否可以和arr[i]位置連成最長遞增子序列，整個暴力解法的時間複雜度是O(N^2)。暴力解法的完整程式碼如下：
public class LeetCode_0300_LongestIncreasingSubsequence {
// 暴力解(O(N^2))
public static int lengthOfLIS(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length == 0) {
return 0;
}
if (arr.length == 1) {
return 1;
}
int max = 1;
int[] dp = new int[arr.length];
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
// dp[i]至少是1
dp[i] = 1;
for (int j = 0; j < i; j++) {
dp[i] = Math.max(dp[i], arr[j] < arr[i] ? dp[j] + 1 : 1);
}
max = Math.max(dp[i], max);
}
return max;
}
}
O(N*logN)解法
設定兩個陣列，含義如下
dp陣列
長度和原陣列長度一樣，
dp[i]表示必須以i結尾的，最長遞增子序列有多長。
ends陣列
長度和原陣列長度一樣，
ends[i]表示所有長度為i+1的遞增子序列中最小結尾是什麼。
舉例說明
以下示例圖採用Processon繪製，地址見：最長遞增子序列
其中i初始指向0位置，用-表示dp和ends陣列中都未填資料，開始遍歷原始陣列arr。
當i來到0位置，arr[i]=3，顯然：dp[i]=1，此時，所有長度為0+1的遞增子序列中最小結尾是3。所以ends[i]=3，i來到下一個位置1。
當i來到1位置，arr[1] = 2，用arr[1]的值去ends陣列中做二分查詢，找大於等於arr[1]的最左位置，即ends陣列的0位置，因為ends[0] = 3表示：所有長度為1的遞增子序列中的最小結尾是3，所以arr[1]=2無法成長為長度為2的遞增子序列，arr[1] = 2只能成長為長度為1的最長遞增子序列，將ends[0]位置的值從3改成2。ends[0]左邊包含自己只有1個數，所以dp[1] = 1。i來到下一個2位置。
此時，arr[2] = 1，用arr[2]的值去ends陣列中做二分查詢，找大於等於arr[2]的最左位置，即ends陣列的0位置，因為ends[0] = 2表示：所有長度為1的遞增子序列中的最小結尾是2，所以arr[2]=1無法成長為長度為2的遞增子序列，arr[2] = 1只能成長為長度為1的最長遞增子序列，將ends[0]位置的值從2改成1。ends[0]左邊包含自己只有1個數，所以dp[2] = 1。i來到下一個3位置。
此時，arr[3] = 2，用arr[3]的值去ends陣列中做二分查詢，找大於等於arr[3]的最左位置，沒有找到，則可以擴充ends陣列，因為ends[0] = 1表示：所有長度為1的遞增子序列中的最小結尾是1，而現在的arr[3]=2，所以arr[3]=2有資格成長為長度為2的遞增子序列，設定ends[1]=2，ends[1]左邊包含自己有2個比自己小的數，所以dp[3]=2，i來到下一個4位置。
此時，arr[4] = 3，用arr[4]的值去ends陣列中做二分查詢，找大於等於arr[4]的最左位置，沒有找到，則可以擴充ends陣列，因為ends[1] = 2表示：所有長度為2的遞增子序列中的最小結尾是2，而現在的arr[4]=3，所以arr[4]=3有資格成長為長度為3的遞增子序列，設定ends[2]=3，ends[2]左邊包含自己有3個比自己小的數，所以dp[4]=3，i來到下一個5位置。
此時，arr[5] = 0，用arr[5]的值去ends陣列中做二分查詢，找大於等於arr[5]的最左位置，即ends陣列的0位置，因為ends[0] = 1表示：所有長度為1的遞增子序列中的最小結尾是2，所以arr[5]=0無法成長為長度為2的遞增子序列，arr[5] = 0只能成長為長度為1的最長遞增子序列，將ends[0]位置的值從1改成0。ends[0]左邊包含自己只有1個數，所以dp[5] = 1。i來到下一個6位置。
此時，arr[6] = 4，用arr[6]的值去ends陣列中做二分查詢，找大於等於arr[6]的最左位置，沒有找到，則可以擴充ends陣列，因為ends[2] = 3表示：所有長度為3的遞增子序列中的最小結尾是3，而現在的arr[6]=4，所以arr[6]=4有資格成長為長度為4的遞增子序列，設定ends[3]=4，ends[3]左邊包含自己有4個比自己小的數，所以dp[6]=4，i來到下一個7位置。
此時，arr[7] = 6，用arr[7]的值去ends陣列中做二分查詢，找大於等於arr[7]的最左位置，沒有找到，則可以擴充ends陣列，因為ends[3] = 4表示：所有長度為4的遞增子序列中的最小結尾是4，而現在的arr[7]=6，所以arr[7]=6有資格成長為長度為5的遞增子序列，設定ends[4]=6，ends[4]左邊包含自己有5個比自己小的數，所以dp[7]=5，i來到下一個8位置。
此時，arr[8] = 2，用arr[8]的值去ends陣列中做二分查詢，找大於等於arr[8]的最左位置，即ends陣列的1位置，因為ends[1] = 2表示：所有長度為2的遞增子序列中的最小結尾是2，所以arr[8]=2無法成長為長度為3的遞增子序列，arr[8] = 2只能成長為長度為2的最長遞增子序列，將ends[1]位置的值改成arr[8]中的這個2。ends[1]左邊包含自己只有2個數，所以dp[8] = 2。i來到最後一個9位置。
arr[9] = 7，用arr[9]的值去ends陣列中做二分查詢，找大於等於arr[9]的最左位置，沒有找到，則可以擴充ends陣列，因為ends[4] = 6表示：所有長度為5的遞增子序列中的最小結尾是6，而現在的arr[9]=7，所以arr[9]=7有資格成長為長度為6的遞增子序列，設定ends[5]=7，ends[5]左邊包含自己有6個比自己小的數，所以dp[9]=6，終止。
原始陣列arr的最長遞增子序列長度為6。
暴力解法中，來到每個i位置需要找一遍[0,i)，複雜度是O(N^2)，現在有了ends陣列的輔助，用二分法加速了這一過程，所以，這個解法的複雜度是O(N*logN)。
完整程式碼如下
public class LeetCode_0300_LongestIncreasingSubsequence {
public static int lengthOfLIS(int[] arr) {
if (null == arr || arr.length == 0) {
return 0;
}
int N = arr.length;
int[] dp = new int[N];
int[] ends = new int[N];
dp[0] = 1;
ends[0] = arr[0];
int l;
int r;
int right = 0;
int max = 1;
for (int i = 0; i < N; i++) {
l = 0;
r = right;
while (l <= r) {
int m = (l + r) / 2;
if (arr[i] > ends[m]) {
l = m + 1;
} else {
r = m - 1;
}
}
right = Math.max(right, l);
dp[i] = l + 1;
ends[l] = arr[i];
max = Math.max(max, dp[i]);
}
return max;
}
}
類似問題
主要思路
信封的兩個維度的資料分別依據如下規則排序：
一維從小到大，二維從大到小，然後把二維資料拿出來，最長遞增子序列就是巢狀層數。
舉例說明：
假設信封資料如下：[[5,4],[6,4],[6,7],[2,3]]
按照一維從小到大，二維從大到小排序後的信封如下：[[2,3],[5,4],[6,7],[6,4]]
拿出二維資料的陣列如下：[3,4,7,4]
這個陣列的最長遞增子序列是[3,4,7], 所以返回3層。
原理：
假設信封一維從小到大，二維從大到小，然後把二維資料拿出來後的陣列為[a,b,c,d,e,f,g]，注：其中的字母只是抽象表示，不表示具體的數值大小。
我們調研任一位置，假設調研的位置是2號的c，根據排序策略，可以得到兩個結論：
結論1：一維資料和c表示的信封一樣的，二維資料不如c表示的信封的資料，一定在c的右邊。這樣的資料一定可以套入c裡面
結論2：一維資料不如c的，二維資料也不如c的，一定在c的左邊，c信封一定可以把這些資料套入
兩部分內容不會干擾，所以最長遞增子序列就是套的層數。