線性dp：最長上升子序列

Tomorrowland_D發表於2024-08-23

最長上升子序列

  • 本文與leetcode300.最長遞增子序列，這題題意一樣，閱讀完本文可以挑戰一下

力扣連結

題目敘述：

給定一個無序的整數陣列，找出其中最長上升子序列（LIS）的長度。

輸入：

[5,7,1,9,4,6,2,8,3]

輸出

4

解釋

  • 最長上升子序列是[1，4，6，8]，其長度為4。

動態規劃的設計：

  • 首先，我們對陣列進行下標的對映，我們從下標為1的位置開始計數

  • 並且，我們計算以每一個元素a【i】為結尾的最長上升子序列的長度f【i】。

img

  • 由上面這張圖我們可知，最長的上升子序列可以由前面的狀態推出，因此我們可以考慮使用動態規劃演算法

狀態變數dp的含義：

  • 我們在這裡陣列名用f，而不用dp
  • f[i]代表以a[i]為結尾的最長上升子序列長度
  • 初始條件為f[i]=1

遞推公式：

  • 我們需要一個j指標，每次遍歷到a【i】時，我們都需要j指標，從1開始移動，移動到i-1的位置，如果發現a[i]>a[j]，那麼我們就更新f【i】的值，不過還得判斷一下f【j】+1與f【i】的大小關係。
for(int i=2;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<i;j++){
        if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
    }
    //ans為最終的最大上升子序列的長度
    ans=max(ans,f[i]);
}

遍歷順序：

  • 因為我們的狀態變數f[i]是由f[j]決定的，所以說我們的遍歷順序顯然是從前向後遍歷

如何初始化？

  • 在上面已經說了：f[i]=1，因為每個數字至少都有以本身為序列的最長上升子序列。

舉例列印dp陣列

  • 下標 ：1，2，3，4，5，6，7，8，9

  • a【i】：5，7，1，9，4，6，2，8，3

  • f【i】 ：1，2，1，3，2，3，2，4，3

遞推式滿足的條件

  • 由小推大（最優子結構）
  • 由過去推現在（無後效性）

疑問：

  • f【i】記錄以a【i】為開頭的最長上升子序列可以嗎？——可以，不過遍歷順序就是從後向前遍歷，遞推式也需要改變改變，這裡讀者可以自行推理！
  • f【i】記錄前i個數的最長上升子序列的長度，可以嗎？——不可以，舉例兩個就可以發現明顯錯誤的反例，因此不成立。

程式碼實現：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N=1010;
int n, a[N];
int f[N];

int main(){
  cin>>n;
  for(int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];
  
  for(int i=1; i<=n; i++) f[i]=1;
  for(int i=1; i<=n; i++)
    for(int j=1; j<i; j++)
      if(a[j]<a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
  
  int res=0;
  for(int i=1; i<=n; i++) res=max(res,f[i]);
  cout<<res;
}

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