LeetCode300.最長遞增子序列

Tomorrowland_D發表於2024-08-23
LeetCode

LeetCode300.最長遞增子序列

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給你一個整數陣列 nums ，找到其中最長嚴格遞增子序列的長度。

子序列是由陣列派生而來的序列，刪除（或不刪除）陣列中的元素而不改變其餘元素的順序。例如，[3,6,2,7] 是陣列 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

  • 輸入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
  • 輸出：4
  • 解釋：最長遞增子序列是 [2,3,7,101]，因此長度為 4 。

示例 2：

  • 輸入：nums = [0,1,0,3,2,3]
  • 輸出：4

示例 3：

  • 輸入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
  • 輸出：1

提示：

  • 1 <= nums.length <= 2500
  • -104 <= nums[i] <= 104

動態規劃思路講解

  • 我之前也講過一篇最長上升子序列的文章，也可以去看看，本文基於線性dp：最長上升子序列 - Tomorrowland_D - 部落格園 (cnblogs.com))來詳細講解這道題的思路

狀態變數以及其含義

  • 我們設定狀態變數dp[i]，表示以nums[i]為結尾的最長上升子序列的長度
  • 我們舉個例子，以示例1為例，我們來推導一下為什麼可以用dp[i]來表示以nums[i]為結尾的最長上升子序列
  • nums陣列： [10,9,2,5,3,7,101,18]
  1. 以10結尾的最長上升子序為：[10]
  2. 以9為結尾的最長上升子序列為：[9]
  3. 以2為結尾的最長上升子序列為：[2]
  4. 以5為結尾的最長上升子序列為：[2，5]
  5. 以3為結尾的最長上升子序列為：[2，3]
  6. 以7為結尾的最長上升子序列為：[2，3，7]
  7. 以101為結尾的最長上升子序列為：[2，3，7，101]
  8. 以18為結尾的最長上升子序列為：[2，3，7，18]
  • 由上面的分析可知，以101為結尾的最長上升子序列是我們要求的最終的結果，並且這個結果的狀態可以由前面的狀態推出，因此我們設立dp[i]這個狀態變數表示以nums[i]為結尾的最長上升子序列。

遞推公式：

  • 我們可以設立兩個指標i,j來進行操作，i指標來遍歷nums的每一個元素，j指標來遍歷nums[i]之前的所有元素，由於我們要找出最大的上升子序列，所以說每個元素我們都要找到nums中在這個元素之前的所有比這個元素要小的元素，這樣才能儘可能的構成最大的遞增子序列。

  • 所以說我們使用i，j指標來遍歷字串。

  • 當nums[i]>nums[j]時，意味著我們當前元素大於之前的一個元素，這兩個元素之間可以構成一個遞增子序列，所以說我們可能要進行更新dp[i]，為什麼是可能呢？因為我們dp[i]的值可能比dp[j]+1（dp[j]+1的意思就是前j個元素構成的遞增序列，再加上num[i]這個值的長度）這個值更大，所以說我們得取一個最大的值。

  • 因此，遞推公式為：

        vector<int> dp(nums.size(),1);
        int ans=1;
        for(int i=1;i<nums.size();i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(nums[i]>nums[j]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
            ans=max(ans,dp[i]);
        }

遍歷順序

  • 由於dp[i]是要由它之前的元素dp[j]來推導的，因此遍歷順序明顯是從前向後遍歷

如何初始化？

  • 首先，我們將dp[i]中的所有值全都初始化為1，因為每個元素至少都有一個遞增子序列（也就是它本身構成的子序列）
  • 然後，依據我們的遞推公式從前向後進行初始化操作即可。

舉例驗證dp陣列

  • nums陣列： [10,9,2,5,3,7,101,18]
  1. 以10結尾的最長上升子序為：[10]
  2. 以9為結尾的最長上升子序列為：[9]
  3. 以2為結尾的最長上升子序列為：[2]
  4. 以5為結尾的最長上升子序列為：[2，5]
  5. 以3為結尾的最長上升子序列為：[2，3]
  6. 以7為結尾的最長上升子序列為：[2，3，7]
  7. 以101為結尾的最長上升子序列為：[2，3，7，101]
  8. 以18為結尾的最長上升子序列為：[2，3，7，18]
  • 這個例子也說明了我們的dp陣列是正確的

程式碼實現

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        vector<int> dp(nums.size(),1);
        //這個初始值為1，因為至少都有長度為1的遞增子序列
        int ans=1;
        for(int i=1;i<nums.size();i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(nums[i]>nums[j]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
            ans=max(ans,dp[i]);
        }
        return ans;
    }
};

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