前言
因為本人天資愚鈍，所以總喜歡將抽象化的事務具象化表達。對於各類眼花繚亂的樹，只需要認知到它們只是一種資料結構，類似陣列，切片，列表，對映等這些耳熟能詳的詞彙。對於一個資料結構而言，無非就是增刪改查而已，既然各類樹也是資料結構，它們就不能逃離增刪改查的桎梏。
那麼，為什麼我們需要樹這種資料結構呢，直接用陣列不行嗎，用切片不行嗎？當然可以，只不過現實世界是繽紛雜亂的，而又沒有一種萬能藥式的資料結構以應對千變萬化的業務需求。所以，才會有各類樹，而且一些“高階”資料結構是基於樹形資料結構的，例如對映。
二叉樹
在中文語境中，節點結點傻傻分不清楚，故後文以 node 代表 "結點"，root node 代表根節點，child node 代表 “子節點”
二叉樹是諸多樹狀結構的始祖，至於為什麼不是三叉樹，四叉樹，或許是因為計算機只能數到二吧，哈哈，開個玩笑。二叉樹很簡單，每個 node 最多存在兩個 child node，第一個節點稱之為 root node。
二叉樹具備著一些基本的數學性質，不過很簡單，定義從 i 從 0 開始：
- 第
i層至多有2i個 node； - 深度為 i 層二叉樹至多有
2i+1-1個 node。
二叉樹的特殊型別
這裡有興趣的可以瞭解一下，不影響後文的閱讀。二叉樹根據 child node 的不同，衍生出了幾種特殊型別：在一顆二叉樹中，如果每個 node 都有 0 或 2 個 child node，則二叉樹是滿二叉樹；定義從 i 從 0 開始，一棵深度為 i，且僅有 2i+1−1 個 node 的二叉樹，稱為完美二叉樹；若除最後一層外的其餘層都是滿的，並且最後一層要麼是滿的，要麼在右邊缺少連續若干 node，則此二叉樹為完全二叉樹。
二叉搜尋樹
二叉搜尋樹（Binary Search Tree），也叫二叉查詢樹，有序二叉樹，排序二叉樹（名字還挺多）。它是一種常用且特殊的二叉樹，它具備一個特有的性質，left node（左結點）始終小於 parent node (父結點)，right node 始終大於 parent node。
二叉搜尋樹的查詢
- 二叉搜尋樹從 root node 開始，如果命中則返回；
- 否則，目標值比 node 小進入 left node；
- 比 node 大進入 right node；
- 如果左右都為空，則未命中。
二叉搜尋樹的遍歷
二叉搜尋樹有不同的遍歷方式，這裡介紹常用的中序遍歷方式：
- 先遍歷左子樹；
- 然後查詢當前左子樹的 parent node；
- 遍歷右子樹。
二叉搜尋樹的插入
- 二叉搜尋樹從 root node 開始，如果命中則不進行操作；
- 否則，目標值比 node 小進入 left node；
- 比 node 大進入 right node；
- 最終將值插入搜尋停止的地方。
二叉搜尋樹的刪除
二叉樹的刪除和查詢基本一致，只要在命中時刪除即可。
- 二叉搜尋樹從 root node 開始，如果命中則刪除；
- 否則，目標值比 node 小進入 left node；
- 比 node 大進入 right node；
- 刪除後使用該 node 左子樹最大值或者右子樹最小值替代該 node。
自平衡二叉樹
從上面的幾張動圖中我們知曉，二叉搜尋樹不同於線性結構，它可以大大降低查詢，插入的時間複雜度。但在特殊情況下，二叉搜尋樹可能退化為線性結構，假如我們依次插入1，2，3，4，5：
此時，二叉搜尋樹退化為線性結構，效率重新變回遍歷。於是，便出現了自平衡二叉樹，例如 AVL 樹，紅黑樹，替罪羊樹等。但它們並不是本文重點，下面我要介紹的是另外一種很常見的自平衡二叉樹：B樹。
B樹
B樹和B-樹是同一個概念。B樹相對於二叉樹有兩點最大的不同：
- 每個 node 可以有不止一個數值
- 每個 node 也可以有不止兩個 child node
B樹有兩種型別 node：
- internal node(內部結點)：不僅僅儲存資料，也具備 child node；
- leaf node(葉子結點)：僅儲存資料，不具備 child node。
這兩種 node 不同於前文所提的 root node 和 child node。root 和 child 是相對於階層的概念，而 internal 和 leaf 是相對於性質的概念
一個簡單的圖例如下：
圖中的藍色方塊是 internal node，綠色則是 leaf node。
B樹有一些需要滿足的性質，這裡的抽象的邏輯有些燒腦，我會對照前面的圖片來解釋。設定一顆 m 階的B樹，m = 3：
設 internal node 的 child node 個數為 k：
- 如果 internal node 是 root node，那麼
k = [2, m]，比如上圖的 8 有兩個 child node（3|6, 10/12）； - 如果 internal node 不是 root node，那麼
k = [m/2, m]，m/2 向上取整，比如上圖的3|6有三個 child node； - 如果 root node 的
k為 0，那麼 root node 是 leaf 型別的； - 所有 leaf node 在同一層，上圖最後一行的六個 node。
設任意 node 鍵值個數為 n：
- 對於 internal node，
n = k-1， 升序排序，滿足k[i] < k[i+1]，比如上圖的三個 internal(8，3|6，10|12) 都滿足此規律； - 對於 leaf node，
n = [0, m-1]，同樣升序排序，比如上圖最後一個的六個 leaf，其鍵值最多為兩個。
上述的概念有些抽象，但是這是理解B樹關鍵的地方所在，後面在B樹的插入講解，會有更多具象的動圖來解釋這些概念。
B樹的查詢
B樹的查詢類似於二叉樹：
- 從 root node 開始，如果目標值小於 root node，進入左子樹，否則進入右子樹；
- 遍歷 child node 的多個鍵值；
- 如果匹配到鍵值，則返回；
- 如果不匹配，則根據目標值的範圍選擇對應的子樹；
- 重複步驟2、3、4，直到匹配成功返回或者未找到。
假如我們要查詢 11：
B樹的遍歷
B樹的遍歷方式類似二叉搜尋樹，不過因為B樹一個 node 有多個鍵值和多個 child node，所以需要遍歷每個左右子樹和鍵值：
- 先遍歷第一個左子樹，也就是 parent node 第一個鍵值的左邊；
- 然後查詢當前 parent node 的第一個鍵值；
- 遍歷第二個左子樹，也就是 parent node 第二個鍵值的左邊；
- 遍歷完搜尋的左子樹，最後遍歷當前 parent 的最右子樹，即最後一個鍵值的右邊。
B樹的插入
插入前面的過程和查詢一致，在插入後可能需要重整 node，以符合B樹的性質，例如插入 16：
- 先查詢到目標 node，也就是
13|15； - 因為這是一顆 3 階B樹，所以 node 最多隻能有兩個鍵值，於是向上傳遞中間值 15；
- parent node 最多也只能有兩個鍵值，於是繼續向上傳遞中間值 12；
- 此時 root node 是 8|12，需要有三個 child node，於是 10|15 需要拆分，再向下進一步調整，至此，插入 16 完成。
B樹的刪除
刪除是插入的逆操作，但是往往比插入更復雜，因為刪除後經常需要重整 node：
- 先查詢到目標 node，也就是
16； - 刪除 16，此時 15 child node 剩下一個，不符合條件，遞迴向上調整，一直到根節點；
- 直到所有的條件都滿足後，刪除 16 完成。
