咬文嚼圖式的介紹二叉樹、B樹/B-樹

前言

因為本人天資愚鈍，所以總喜歡將抽象化的事務具象化表達。對於各類眼花繚亂的樹，只需要認知到它們只是一種資料結構，類似陣列，切片，列表，對映等這些耳熟能詳的詞彙。對於一個資料結構而言，無非就是增刪改查而已，既然各類樹也是資料結構，它們就不能逃離增刪改查的桎梏。

那麼，為什麼我們需要樹這種資料結構呢，直接用陣列不行嗎，用切片不行嗎？當然可以，只不過現實世界是繽紛雜亂的，而又沒有一種萬能藥式的資料結構以應對千變萬化的業務需求。所以，才會有各類樹，而且一些“高階”資料結構是基於樹形資料結構的，例如對映。

二叉樹

在中文語境中，節點結點傻傻分不清楚，故後文以 node 代表 "結點"，root node 代表根節點，child node 代表 “子節點”

二叉樹是諸多樹狀結構的始祖，至於為什麼不是三叉樹，四叉樹，或許是因為計算機只能數到二吧，哈哈，開個玩笑。二叉樹很簡單，每個 node 最多存在兩個 child node，第一個節點稱之為 root node。

二叉樹具備著一些基本的數學性質，不過很簡單，定義從 i 從 0 開始：

• 第 i 層至多有 2i 個 node；
• 深度為 i 層二叉樹至多有 2i+1-1 個 node。

二叉樹的特殊型別

這裡有興趣的可以瞭解一下，不影響後文的閱讀。二叉樹根據 child node 的不同，衍生出了幾種特殊型別：在一顆二叉樹中，如果每個 node 都有 0 或 2 個 child node，則二叉樹是滿二叉樹；定義從 i 從 0 開始，一棵深度為 i，且僅有 2i+1−1 個 node 的二叉樹，稱為完美二叉樹；若除最後一層外的其餘層都是滿的，並且最後一層要麼是滿的，要麼在右邊缺少連續若干 node，則此二叉樹為完全二叉樹。

二叉搜尋樹

二叉搜尋樹（Binary Search Tree），也叫二叉查詢樹，有序二叉樹，排序二叉樹（名字還挺多）。它是一種常用且特殊的二叉樹，它具備一個特有的性質，left node（左結點）始終小於 parent node (父結點)，right node 始終大於 parent node。

二叉搜尋樹的查詢

1. 二叉搜尋樹從 root node 開始，如果命中則返回；
2. 否則，目標值比 node 小進入 left node；
3. 比 node 大進入 right node；
4. 如果左右都為空，則未命中。

二叉搜尋樹的遍歷

二叉搜尋樹有不同的遍歷方式，這裡介紹常用的中序遍歷方式：

1. 先遍歷左子樹；
2. 然後查詢當前左子樹的 parent node；
3. 遍歷右子樹。

二叉搜尋樹的插入

1. 二叉搜尋樹從 root node 開始，如果命中則不進行操作；
2. 否則，目標值比 node 小進入 left node；
3. 比 node 大進入 right node；
4. 最終將值插入搜尋停止的地方。

二叉搜尋樹的刪除

二叉樹的刪除和查詢基本一致，只要在命中時刪除即可。

1. 二叉搜尋樹從 root node 開始，如果命中則刪除；
2. 否則，目標值比 node 小進入 left node；
3. 比 node 大進入 right node；
4. 刪除後使用該 node 左子樹最大值或者右子樹最小值替代該 node。

自平衡二叉樹

從上面的幾張動圖中我們知曉，二叉搜尋樹不同於線性結構，它可以大大降低查詢，插入的時間複雜度。但在特殊情況下，二叉搜尋樹可能退化為線性結構，假如我們依次插入1，2，3，4，5：

此時，二叉搜尋樹退化為線性結構，效率重新變回遍歷。於是，便出現了自平衡二叉樹，例如 AVL 樹，紅黑樹，替罪羊樹等。但它們並不是本文重點，下面我要介紹的是另外一種很常見的自平衡二叉樹：B樹。

B樹

B樹和B-樹是同一個概念。B樹相對於二叉樹有兩點最大的不同：

• 每個 node 可以有不止一個數值
• 每個 node 也可以有不止兩個 child node

B樹有兩種型別 node：

• internal node(內部結點)：不僅僅儲存資料，也具備 child node；
• leaf node(葉子結點)：僅儲存資料，不具備 child node。

這兩種 node 不同於前文所提的 root node 和 child node。root 和 child 是相對於階層的概念，而 internal 和 leaf 是相對於性質的概念

一個簡單的圖例如下：

圖中的藍色方塊是 internal node，綠色則是 leaf node。

B樹有一些需要滿足的性質，這裡的抽象的邏輯有些燒腦，我會對照前面的圖片來解釋。設定一顆 m 階的B樹，m = 3：

設 internal node 的 child node 個數為 k：

1. 如果 internal node 是 root node，那麼 k = [2, m]，比如上圖的 8 有兩個 child node（3|6, 10/12）；
2. 如果 internal node 不是 root node，那麼 k = [m/2, m]，m/2 向上取整，比如上圖的 3|6 有三個 child node；
3. 如果 root node 的 k 為 0，那麼 root node 是 leaf 型別的；
4. 所有 leaf node 在同一層，上圖最後一行的六個 node。

設任意 node 鍵值個數為 n：

1. 對於 internal node， n = k-1， 升序排序，滿足 k[i] < k[i+1]，比如上圖的三個 internal(8，3|6，10|12) 都滿足此規律；
2. 對於 leaf node，n = [0, m-1]，同樣升序排序，比如上圖最後一個的六個 leaf，其鍵值最多為兩個。

上述的概念有些抽象，但是這是理解B樹關鍵的地方所在，後面在B樹的插入講解，會有更多具象的動圖來解釋這些概念。

B樹的查詢

B樹的查詢類似於二叉樹：

1. 從 root node 開始，如果目標值小於 root node，進入左子樹，否則進入右子樹；
2. 遍歷 child node 的多個鍵值；
3. 如果匹配到鍵值，則返回；
4. 如果不匹配，則根據目標值的範圍選擇對應的子樹；
5. 重複步驟2、3、4，直到匹配成功返回或者未找到。

假如我們要查詢 11：

B樹的遍歷

B樹的遍歷方式類似二叉搜尋樹，不過因為B樹一個 node 有多個鍵值和多個 child node，所以需要遍歷每個左右子樹和鍵值：

1. 先遍歷第一個左子樹，也就是 parent node 第一個鍵值的左邊；
2. 然後查詢當前 parent node 的第一個鍵值；
3. 遍歷第二個左子樹，也就是 parent node 第二個鍵值的左邊；
4. 遍歷完搜尋的左子樹，最後遍歷當前 parent 的最右子樹，即最後一個鍵值的右邊。

B樹的插入

插入前面的過程和查詢一致，在插入後可能需要重整 node，以符合B樹的性質，例如插入 16：

1. 先查詢到目標 node，也就是 13|15；
2. 因為這是一顆 3 階B樹，所以 node 最多隻能有兩個鍵值，於是向上傳遞中間值 15；
3. parent node 最多也只能有兩個鍵值，於是繼續向上傳遞中間值 12；
4. 此時 root node 是 8|12，需要有三個 child node，於是 10|15 需要拆分，再向下進一步調整，至此，插入 16 完成。

B樹的刪除

刪除是插入的逆操作，但是往往比插入更復雜，因為刪除後經常需要重整 node：

1. 先查詢到目標 node，也就是 16；
2. 刪除 16，此時 15 child node 剩下一個，不符合條件，遞迴向上調整，一直到根節點；
3. 直到所有的條件都滿足後，刪除 16 完成。