樹和二叉樹簡介

部落格原文：http://blog.laofu.online/2019/07/12/tree/

樹的定義

為了保證資料的能夠有效的查詢，可以使用順序結構。為了保證資料的插入效率，我們可以使用鏈型結構。但在某些場合，我們需要同時兼顧查詢效率和插入的效率，應該怎麼做？

樹（Tree）型結構是一類常用的高效的非線性的資料結構，兼顧了順序表的查詢效率和連結串列的插入效率。例如我們電腦中的目錄結構，採用的就是一種樹形結構關係。 樹的具體結構形狀如下圖：

關於樹有以下幾個定義：

度：每個節點擁有的葉子的個數稱之為度。A節點的度是3 
樹的度：是指節點的最大值，當前樹的度是4。 
根節點：樹的開始節點，A節點是根節點 
葉子節點：沒有子節點的節點，K、L、F節點是葉子節點   

為什麼樹能夠保持較高的查詢和插入效率，對比順序結構， 順序結構的查詢效率的時間複雜度為O(1)，插入的效率為O(n)，鏈式結構正好相反。

如果我們把資料結構由線形結構轉成樹形結構的話，查詢和遍歷節點的數量一定是小於等於n，所以樹的效率一般是優於線性結構。

樹的儲存形式

• 雙親表示法

  雙親表示法是指用順序結構來表示數，每個節點設定一個變數，來指示雙親節點所在的位置，如下：

                   

 

• 孩子表示法

  每個節點可能有多個子節點，可以用使用多級連結串列來分別表示。具體如下 

• 孩子兄弟表示法

  又稱為二叉樹表示法，是以二叉連結串列的方式進行儲存。表示如下：

             

二叉樹

  二叉樹是一種特殊的樹型結構，有一個根節點和最多有兩個子節點（每個節點的度不大於2）。稱為二叉樹。

 

• 滿二叉樹:一個深度為k的二叉樹，有${\mathrm{2k-1個節點,即除最底層的節點外，其他節點都有兩個葉子節點。}}^{}$

• 完全二叉樹 除了葉子節點不滿，其他都滿。且最下面一層節點如果不滿，則所有的節點在左邊的連續排列，空位都在右邊。這樣的二叉樹就是一棵完全二叉樹。滿二叉樹是特殊的完全二叉樹。

   

• 二叉查詢樹： 又名二叉搜尋樹，二叉排序樹，即在插入的時候，值的大小就決定了在二叉樹中的位置。

  具有以下性質：

  1. 若任意節點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值小於它的根結點的值；

  2. 若任意節點的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值大於它的根結點的值；

  3. 任意節點的左、右子樹也分別為二叉查詢樹；

  4. 沒有鍵值相等的節點。

  如下圖

        

• 平衡二叉樹：前面我們看到了二叉查詢樹的特點，如果當根節點選擇不當的時候，會出現左右失衡的現象，比如：

如果我們查詢的資料是160的話，需要遍歷深度為6。如果我們在插入的時候能讓樹保持在一個合理的深度，每次插入進行平衡，這樣檢索的效率會不會提升？這就是我們要引入的平衡二叉樹，明確定義是一棵空樹或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，並且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹,我們把上圖進行整理成平衡二叉樹。結果如下：   

 

 

     這樣在查詢160的時候，只需要遍歷深度為3. 但平衡二叉樹在插入資料的會造成失衡,所以平衡二叉樹修改時候比二叉搜尋樹更加複雜。

 

• 紅黑樹：紅黑樹是帶有紅黑標記的二叉查詢樹，除了排序的屬性有多了顏色的屬性

 

紅黑樹除了具有查詢的樹的特點外，還具有具有以下特點：

1. 1. 根節點一定是黑色的，節點非黑即紅
   2. 每個紅節點的兩個子節點都是黑色的、
   3. 任意節點到每個葉子節點的所有路徑都包含相同的黑色節點
   4. 葉子節點都是黑色（Null）節點

如果我們將一個資料185插入到上面的樹的節點中，過程如下：

 

 

•  霍夫曼樹： 是一種帶有權重的最優二叉樹。 首先看一個例子：

上面有三顆樹，我們把葉子節點到根節點的權重和深度乘積的和稱為權重路徑長度 （WPL） 則上面三顆樹的長度分別為：

1. 1. WPL= 72+52+22+42=36
   2. WPL= 73+53+21+42=46
   3. WPL= 71+52+23+43=35

從上面的結果可以看出第3棵為最小，也可以證明第3棵是最優二叉樹， 所以霍夫曼樹的特點就權重最大的節點路徑為最短，這樣能使整顆樹的權重路徑長度最小。

霍夫曼樹常用的字串的縮減，稱為霍夫曼編碼，能夠有效的降低編碼的長度。