二叉樹建立後，如何使用遞迴和棧遍歷二叉樹？

二十二畫程式設計師發表於2021-04-19
二叉樹遞迴

0. 前言

前文【二叉樹的概念和原理】主要介紹了樹的相關概念和原理，本文主要內容為二叉樹的建立及遍歷的程式碼實現，其中包括遞迴遍歷和棧遍歷。

1. 二叉樹的實現思路

1.0. 順序儲存——陣列實現

前面介紹了滿二叉樹和完全二叉樹，我們對其進行了編號——從 0 到 n 的不中斷順序編號，而恰好，陣列也有一個這樣的編號 —— 陣列下標，只要我們把二者聯合起來，陣列就能儲存二叉樹了。

那麼非滿、非完全二叉樹怎麼使用陣列儲存呢？

我們可以在二叉樹中補上一些虛構的結點，構造出來一個滿/完全二叉樹來，儲存到陣列中時，虛構的結點對應的陣列元素不儲存資料（# 代表虛構的不存在）。如下圖：

這樣儲存的缺點是，陣列中可能會有大量空間未用到，造成浪費。

1.1. 鏈式儲存——連結串列實現

我們畫樹的圖時，採用的都是結點加箭頭的方式，結點表示資料元素，箭頭表示結點之間的關係，清晰明瞭。如果你對連結串列熟悉，那麼肯定能覺察到這是典型的鏈式結構。鏈式結構完美解決了順序結構中可能會浪費空間的缺點，而且也不會有陣列空間限制。

下面來分析一下結點的結構。

樹的結點包括一個資料元素和若干指向其子樹分支。二叉樹的結點相對簡單，包括：

  • 資料元素
  • 左子樹分支（結點的左孩子）
  • 右子樹分支（結點的右孩子）

怎麼來實現呢？單連結串列的結點是使用一個指向其後繼結點的指標來表示其關係的。同樣地，我們也可以使用指標來表示結點和其左孩子、右孩子的關係。

分析到這，二叉樹的結點就清晰了：

  • 一個儲存資料的變數——data
  • 一個指向其左孩子結點的指標——left_child
  • 一個指向其右孩子結點的指標——right_child

用 C 語言的結構體實現二叉樹的結點（為了方便起見，我們的資料全為字元型別）：

/*二叉樹的結點的結構體*/
typedef struct Node {
    char data; //資料域
    struct Node *left_child; //左孩子指標
    struct Node *right_child; //右孩子指標
} TreeNode;

2. 二叉樹的創造

二叉樹的定義是遞迴的定義，所以如果你想要創造一個二叉樹，也可以藉助遞迴去創造。如何遞迴創造呢？在現實中，一棵樹先長根、再長枝幹、最後長葉子。我們用程式碼創造樹時，也遵守這個原則，即先創造根結點，然後左子樹，最後右子樹。整個過程和先序遍歷相似。

我以前寫過的文章中有二叉樹建立過程的動態圖，這裡不再贅述。

這裡以創造下圖中的樹為例：

說明：當我們看到如左圖的二叉樹時，要立即能腦補出對應的右圖。#結點是什麼？

前面我們已經畫出了類似的圖，當時是 NULL 結點，它的作用是標識某個結點沒有孩子，它是我們虛構出來的。在實際使用 C 語言創造二叉樹時，需要使用 #或者什麼其他的符號來代替 NULL.

上圖的先序遍歷順序為：ABDEGCF，如果加上 # 結點，則為：ABD##EG###C#F##. 我們按照此順序來創造二叉樹。

程式碼如下：

/**
 * 創造一個二叉樹
 * root: 指向根結點的指標的指標
 */
void create_binary_tree(TreeNode **root)
{
    char elem;
    scanf("%c", &elem);
    if (elem == '#') {
        *root = NULL;
    } else {
        *root = create_tree_node(elem); //創造一個二叉結點
        create_binary_tree(&((*root)->left_child));
        create_binary_tree(&((*root)->right_child));
    }
}

請注意，函式 create_binary_tree 接受的是一個指向根結點的指標的指標，至於為什麼要使用指標的指標，理由在介紹單連結串列的初始化時已經解釋了。

3. 二叉樹的遍歷

在文章【二叉樹的概念和原理】中已經介紹了遍歷的原理了，下面使用 C 語言實現它。

3.0. 遍歷實質

二叉樹的定義是遞迴的定義，即在二叉樹的定義中又用到了二叉樹的定義。所以無論是在創造二叉樹，還是在遍歷二叉樹，我們要做的只有三件事：訪問根結點、找左子樹、找右子樹。所謂先序、中序、後序遍歷，無非是這三件事的順序罷了。

3.1. 遞迴實現

我們如果使用遞迴程式碼，很容易就能實現遍歷，而且程式碼非常簡潔。

【先序遍歷】

/**
 * 先序遍歷
 * root: 指向根結點的指標
 */
void preorder_traversal(TreeNode *root)
{
    if (root == NULL) { //若二叉樹為空，做空操作
        return;
    }
    printf("%c ", root->data); //訪問根結點
    preorder_traversal(root->left_child); //遞迴遍歷左子樹
    preorder_traversal(root->right_child); //遞迴遍歷右子樹
}

【中序遍歷】

/**
 * 中序遍歷
 * root: 指向根結點的指標
 */
void inorder_traversal(TreeNode *root)
{
    if (root == NULL) { //若二叉樹為空，做空操作
        return;
    }
    inorder_traversal(root->left_child); //遞迴遍歷左子樹
    printf("%c ", root->data); //訪問根結點
    inorder_traversal(root->right_child); //遞迴遍歷右子樹
}

【後序遍歷】

/**
 * 後序遍歷
 * root: 指向根結點的指標
 */
void postorder_traversal(TreeNode *root)
{
    if (root == NULL) { //若二叉樹為空，做空操作
        return;
    }
    postorder_traversal(root->left_child); //遞迴遍歷左子樹
    postorder_traversal(root->right_child); //遞迴遍歷右子樹
    printf("%c ", root->data); //訪問根結點
}

事實上，大部分使用遞迴做的事，使用棧也可以做到。下面介紹遍歷的棧實現。

3.2. 棧實現

我們利用了棧的後進先出的特性，

棧實現的程式碼較複雜，受篇幅限制，這裡只介紹先序遍歷和後序遍歷，詳細程式碼請移步至程式碼倉庫檢視。

【先序遍歷】

使用棧的先序遍歷

我們的樹的結點是要全部都入棧的（暫不管順序如何），那麼入棧的條件是什麼？就是該結點可以被看作某棵樹（子樹）的根結點的時候。即，curr 指標指向的結點一定為某顆樹（子樹）的根結點。

在【二叉樹的概念和原理】中，我們已經看到了，遍歷完某個子樹時，一定要回到其雙親結點。這種回溯如何實現？可以利用棧的先進後出、後進先出的特點，這個特點能在棧中完美儲存結點在樹中父子關係，棧頂元素即為當前子樹的雙親結點。

/**
 * 使用棧實現的先序遍歷
 */
void preorder_traversal_by_stack(TreeNode *root)
{
    //創造並初始化棧
    Stack stack;
    init_stack(&stack);
    
    TreeNode *curr = root; //輔助指標curr

    while (curr != NULL || !stack_is_empty(&stack)) {
        while (curr != NULL) {
            printf("%c", curr->data); //列印根結點
            push(&stack, curr); //根結點入棧
            curr = curr->left_child; //進入左子樹
        }
        if (!stack_is_empty(&stack)) {
            pop(&stack, &curr); //出棧，回到上一個根結點
            curr = curr->right_child; //進入右子樹
        }
    }
}

【後序遍歷】

後序遍歷相較於前序和中序較為麻煩，不像前序和中序遍歷那樣。因為前序和種序的根結點在右子樹之前，所以我們可以在出棧的時候同時進行列印根結點和進入右子樹。

後序遍歷的根結點在右子樹之後，這就要求我們再遍歷完左子樹後，先返回到根結點，然後進入右子樹，遍歷完右子樹之後，再回到根結點，才能列印它。

關鍵之處還在於左子樹、右子樹、根結點的順序。

所以當 curr 指標遍歷完左子樹後，我們不能直接將根結點出棧，而是先從棧頂讀取到根結點，然後 curr 指標返回到根結點，然後 curr 指標進入右子樹進行遍歷，當右子樹遍歷完成後，將根結點出棧，才能列印根結點。

這樣一來，後序遍歷就有兩次回到根結點的動作，且這兩次的後續動作不一樣。第一次通過讀取棧頂回到根結點，然後進入右子樹；第二次通過出棧回到根結點，然後列印根結點。

這樣看似解決了後序遍歷的順序問題，但其實又得到了一個新的問題，即，我們如何知道右子樹被遍歷完了？

我們有兩次回到根結點的動作，對於寫程式碼的人來說，我們知道兩次回到根結點之後該幹什麼，知道右子樹是否被遍歷完了。但是對於 curr 指標來說，它不知道，兩次回到根結點，它都不知道右子樹是否被遍歷完成了。

此時，對於curr 指標來說，就像有兩條路擺在它面前讓它選擇其中一條，它難以抉擇。如果當其中一條有過它的腳印，那麼它就很容易選擇那條沒走過的路了。

所以我們現在還需要一個“腳印”指標——prev，prev指標用來記錄 curr訪問過的結點。

當 curr 指標第二次回到根結點的時候，一看，哦！我的腳印留在那呢！（prev 指標指在右子樹那裡）curr 指標就直接放心列印根結點了。

/**
 * 使用棧實現的後序遍歷
 */
void postorder_traversal_by_stack(TreeNode *root)
{
    Stack stack;
    init_stack(&stack);

    TreeNode *curr = root; //輔助指標curr，記錄當前訪問結點
    TreeNode *prev = NULL; //腳印指標prev，記錄上一個訪問過的結點

    while (curr != NULL || !stack_is_empty(&stack)) {
        if (curr != NULL) {
            push(&stack, curr); //根結點入棧
            curr = curr->left_child; //進入左子樹
        } else {
            get_top(&stack, &curr); //讀棧頂元素，不是出棧
            //右子樹不為空，且右子樹沒被遍歷
            if (curr->right_child != NULL && curr->right_child != prev) { 
                curr = curr->right_child; //進入右子樹
                push(&stack, curr); //根結點入棧
                curr = curr->left_child; //進入左子樹
            } else { //右子樹已被遍歷或者右子樹為空，可以列印根結點了
                pop(&stack, &curr); //根結點出棧
                printf("%c", curr->data); //列印根結點
                prev = curr; //記錄
                curr = NULL; //置空，進入下一輪迴圈
            }
        }
    }
}

以上程式碼中的棧的相關函式這裡不再給出，詳細程式碼請移步至程式碼倉庫（文末獲取）。

4. 總結

遞迴的程式碼雖然簡潔，但是對新手來說卻有點難以理解，這是因為接觸的太少。棧的程式碼相對來說容易理解一些，但程式碼比較複雜，特別是後序遍歷的程式碼。

不過當你真正理解了二叉樹的定義、概念、原理之後，程式碼相關的問題就不再是問題了，最終只落在六個字上——無他，惟手熟爾。

以上就是二叉樹的建立和遍歷的實現。

完整程式碼請移步至 GitHub | Gitee 獲取。

如有錯誤，還請指正。

如果覺得寫的不錯，可以點個贊和關注。後續會有更多資料結構和演算法相關文章。

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