LeetCode 熱題 HOT 100 Java題解——96. 不同的二叉搜尋樹

96. 不同的二叉搜尋樹

題目：

給定一個整數 $n$，求以 $1...n$ 為節點組成的二叉搜尋樹有多少種？

示例：

輸入: 3
輸出: 5
解釋:
給定 n = 3, 一共有 5 種不同結構的二叉搜尋樹:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

遞迴子問題

假設 $n$ 個節點存在二叉排序樹的個數是 $G(n)$，令 $f(i)$ 為以 $i$ 為根的二叉搜尋樹的個數，則

$G(n)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)$,

$f(i)=G(i-1)\ast G(n-i)$

遞迴輕易寫出，2560ms，有時會超時

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        int res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            res += numTrees(i - 1) * numTrees(n - i);
        }
        return res;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(?)$

  卡特蘭數複雜度。

• 空間複雜度：$O(?)$

  卡特蘭數複雜度。

記憶化遞迴

上述程式碼最大的問題就是太多重複計算，因此可以使用記憶化遞迴。

class Solution {
    int[] mem;
    public int recur(int n) {
        if (mem[n] != 0) return mem[n];
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res += recur(i) * recur(n - i - 1);
        }
        mem[n] = res;
        return res;
    }
    public int numTrees(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        mem = new int[n + 1];
        mem[0] = mem[1] = 1;
        return recur(n);
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^2)$

  與動態規劃複雜度相同。

• 空間複雜度：$O(n)$

  需要$O(n)$額外陣列空間。

動態規劃

從$dp[0],dp[1]$開始逐漸向後擴大。

public class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^2)$

  雙重迴圈。

• 空間複雜度：$O(n)$

  需要$O(n)$額外陣列空間。

數學方法——卡特蘭數

其實本體實質為計算卡塔蘭數 $C_n$。卡塔蘭數更便於計算的定義如下:

$C_0=1,C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}{C}_n$

public class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        long C = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
        }
        return (int) C;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n)$

  一重迴圈。

• 空間複雜度：$O(1)$

  常數級別額外空間。