<動態規劃>Leetcode96.不同的二叉搜尋樹

給你一個整數 n ，求恰由 n 個節點組成且節點值從 1 到 n 互不相同的 二叉搜尋樹 有多少種？返回滿足題意的二叉搜尋樹的種數。

解題步驟如下：

1. 二叉搜素樹的相關概念
2. 尋找規律
3. 思路建立
4. 程式碼實現

1.二叉搜尋樹的相關概念

①：若左子樹不空，則左子樹所有節點的值均小於它的根節點的值。
②：若右子樹不空，則右子樹所有節點的值均大於它的根節點的值。
③：它的左右子樹也分別為二叉搜尋樹。

2.尋找規律

當n=1時，二叉搜尋樹如圖：

如圖所示，n=1時，有1棵二叉搜尋樹

當n=2時，二叉搜尋樹如圖：

• [ ]

如圖所示，n=2時，有2棵二叉搜尋樹

當n=3時，二叉搜尋樹如圖：

當n=3時，我們可以仔細研究一下它們的情況。

• 以1為頭結點的二叉搜尋樹，都是左節點為0；且右節點佈局與n=2時的佈局一樣（這裡如果說數值都不一樣云云，請記住題目只求種類不是具體的每一棵樹）
• 以3為頭結點的二叉搜尋樹，都是右節點為0；且左節點與n=2時的佈局一樣
• 以2為頭結點的二叉搜尋樹，左右子樹各有1個節點，形態也和n=1時只有一棵樹的佈局一樣

那麼可以上述規律可以整合為：
dp[3]=以1為頭結點的搜尋樹數量+以2為頭結點的搜尋樹數量+以3為頭結點的搜尋樹數量

• 以1為頭結點的搜尋樹數量=左子樹元素為0的搜尋樹的數量x右子樹元素為2的搜尋樹數量
• 以2為頭結點的搜尋樹數量=左子樹元素為1的搜尋樹的數量x右子樹元素為1的搜尋樹數量
• 以3為頭結點的搜尋樹數量=左子樹元素為2的搜尋樹的數量x右子樹元素為0的搜尋樹數量

數量為0的搜尋樹數量為dp[0]
數量為1的搜尋樹數量為dp[1]
數量為2的搜尋樹數量為dp[2]

固有：dp[3]=dp[0]dp[2]+dp[1]dp[1]+dp[2]dp[0]
接下來把思路泛化成題目需要的樣子

3.思路建立

1.定義dp陣列含義
dp[i]為1到i個不同元素組成的二叉搜尋樹節點為dp[i]；dp[n]就是題意要求的搜尋樹種數。
2.推導公式
由上述推導公式可知，我們需要明確頭結點，左子樹數量，右子樹數量。故我們在這裡設j作為頭結點，那麼左子樹數量自然為（j-1）個，右子樹數量為（i-j）個。
我們可以得公式：dp[i]=dp[j-1]*dp[i-j]
(可能會有朋友疑問為什麼用相乘，打個比方說n=10的二叉搜尋樹，左子樹情況有5種，右子樹情況情況有8種，要想得出所有的情況是不是應該用相乘？)
當你用以上公式從1開始推導到n,你就會發現上述公式只是推導了某一個具體的i值，如果需要從1開始推導到n,我們需要做一個累加運算，從i=1開始運算，算完了i=1的值時，把它的結果累加到下一輪i=2的運算，這樣我們計算到n時，就把1+2+3+......+n的值都沒有差錯地累加上了。

故最後的遞推公式為dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j]
3.初始化
只需要考慮dp[0]，若二叉搜尋樹左右子樹任意一方為空，他們結果相乘為0是不合理的，故dp[0]=1。
4.遍歷順序
由遞推公式dp[i]+=dp[j-1]dp[i-j]很容易看出，dp[i]是由比i小的狀態數推匯出來的，故是從小的數遍歷到大的數（int i =1;i<=n;i++）
在i的迴圈底下，接著進行j的迴圈。j是頭結點，從1的頭結點開始，一直遍歷到i為頭節點的情況。固有（int j=1;j<=i;j++）
（不要懵逼為什麼是i，我們定義的dp[i]裡的i就是i個不同元素組成的搜尋樹的種類！）

4.程式碼實現

點選檢視程式碼

class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector dp(n+1);
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++){
dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];
}
}
return dp[n];
}
};