斐波那契查詢不再迷惑

發表於2020-07-10

裴波那契查詢的來源

裴波那契數列是一串按照F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）這一條件遞增的一串數字：

1、1、2、3、5、8、13、21 ... ...

兩個相鄰項的比值會逐漸逼近0.618 —— 黃金分割比值。這個非常神奇的數列在物理，化學等各大領域上有相當的作用，於是大家想：能不能把它用在查詢演算法上嘞？？

於是就有了裴波那契查詢演算法，
裴波那契數列最重要的一個性質是每個數都等於前兩個數之和（從第三個數字開始）。
也就是一個長度為f(n)的陣列，它能被分成f(n-1)和f(n-2)這兩半，
而f(n-1)又能被分為f(n-2)和f(n-3)這兩半。。。直到分到1和1為止（f(1)和f(2)）。

（注意一個細節：在分割時，可以選擇將“大塊”的f(n-1)放前面部分，也可以將“小塊”的f(n-2)放前面，我下面的分割都是按照“大塊”在前進行的）

這裡我們發現，二分查詢，插值查詢和裴波那契查詢的基礎其實都是：對陣列進行分割，只是各自的標準不同：二分是從陣列的一半分，插值是按預測的位置分，而裴波那契是按它數列的數值分。

三個陣列以及它們之間的關係。

瞭解裴波那契查詢的演算法實現，最重要的是理解“三個陣列”之間的關係，它們分別是：

待查詢陣列 (a)
裴波那契陣列(fiboArray)
填充後陣列(filledArray)

裴波那契陣列

要按裴波那契數分割，我們當然要建立一個容納有裴波那契數的陣列，那麼，怎麼確定這個陣列的長度呢？或者說，怎麼確定陣列裡裴波那契數的最大值呢？（最後一個值）

答：只要剛好能滿足我們的需要就可以了，裴波那契陣列的長度，取的是大於等於待查詢陣列長度的最小值。原陣列長4則取5，長6則取8，長13取13（1、1、2、3、5、8、13、21 ）

填充陣列

其次我們要考慮的是：我們的陣列長度不可能總是滿足裴波那契數的，例如5、8、13、21等是裴波那契數，但我們的陣列長度可能是6,7,10這些非裴波那契數，那這時候怎麼辦呢？總不能對長度為10的待查詢陣列按照8和13進行第一次分割吧，所以我們應該按照上面選定的裴波那契陣列的最大值，建立一個等於該長度的填充陣列，將待查詢陣列的元素依次拷貝到填充陣列中，剩下的部分用原待查詢陣列的最大值填滿。

我們進行查詢操作的並不是原待排序陣列，而是對應的填充陣列！

查詢到填充的部分元素如何處理？

當我們在填充陣列中查詢成功後，該元素可能來源於在原陣列的基礎上填充的部分元素（上圖黃色9），返回的下標(10,11,12)顯然是不準確的，而應該返回原陣列的最後一個元素的下標(9) 。

所以，解決方法就是：在填充陣列中查詢成功後，判斷返回的元素下標和原陣列長度的關係，如果：返回下標 > 原陣列長度 - 1, 那麼改為返回原陣列最後一個元素下標就OK了。

查詢過程

OK，有了上面的基礎我們總結下查詢的過程：

根據待查詢陣列長度確定裴波那契陣列的長度（或最大元素值）
根據1中長度建立該長度的裴波那契陣列，再通過F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)生成裴波那契數列為陣列賦值
以2中的裴波那契陣列的最大值為長度建立填充陣列，將原待排序陣列元素拷貝到填充陣列中來，如果有剩餘的未賦值元素，用原待排序陣列的最後一個元素值填充
針對填充陣列進行關鍵字查詢，查詢成功後記得判斷該元素是否來源於後來填充的那部分元素

具體程式碼

package find;

import java.util.Scanner;

public class FibonacciSearch {

    public static void main(String[] args) {
        int[] a={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
        System.out.println("請輸入想要查詢的數值：");
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int key=sc.nextInt();
        int s=search(a,key);
        if(s==-1){
            System.out.println("沒有這個資料");
        }else{
            System.out.println("查到資料下標為"+s);
            System.out.println("查到資料為第"+(s+1)+"個數");
        }
    }
    /**
     * @param a: 待查詢的陣列
     * @description: 建立最大值剛好>=待查詢陣列長度的裴波納契陣列
     */
    private static int[] makeFiboArray(int[] a) {
        int N = a.length;
        int first = 1, sec = 1, third = 2, fbLength = 2;
        int higt = a[N - 1];
        while (third < N) {        // 使得裴波那契數不斷遞增，直到值剛好大於等於原陣列長度為止
            third = first + sec;   // 根據f(n) = f(n-1)+ f(n-2)計算
            first = sec;
            sec = third;
            fbLength++;// 計算最後得到的裴波那契陣列的長度
        }
        int[] fb = new int[fbLength];  // 根據上面計算的長度建立一個空陣列
        fb[0] = 1;    // 第一和一二個數是迭代計算裴波那契數的基礎
        fb[1] = 1;
        for (int i = 2; i < fbLength; i++) {
            fb[i] = fb[i - 1] + fb[i - 2];  // 將計算出的裴波那契數依次放入上面的空陣列中
        }
        return fb;
    }

    /**
     * @description: 裴波那契查詢
     */
    public static int search(int[] a, int key) {
        int low, high;
        int lastA;
        int[] fiboArray = makeFiboArray(a);//// 建立最大值剛好>=待查詢陣列長度的裴波納契陣列
        int filledLength = fiboArray[fiboArray.length - 1];//建立填充陣列長度
        int[] filledArray = new int[filledLength];// 建立長度等於裴波那契陣列最大值的填充陣列
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            filledArray[i] = a[i];// 將原待排序陣列的元素都放入填充陣列中
        }
        lastA = a[a.length - 1];//// 原待排序陣列的最後一個值
        for (int i = a.length; i < filledLength; i++) {
            filledArray[i] = lastA;//// 如果填充陣列還有空的元素，用原陣列最後一個元素值填滿
        }
        low = 0;
        high = a.length; // 取得原待排序陣列的長度 （注意是原陣列！）
        int mid;
        int k = fiboArray.length - 1;
        while (low <= high) {
            mid = low + fiboArray[k - 1] - 1;
            if (key < filledArray[mid]) {
                high = mid - 1;//排除右半邊的元素
                k = k - 1;//f(k-1)是左半邊的長度
            } else if (key > filledArray[mid]) {
                low = mid - 1;//排除左半邊的元素
                k = k - 2;//f(k-2)是右半邊的長度
            } else {
                if (mid > high) {//說明取得了填充陣列末尾的重複元素了
                    return high;
                } else {
                    return mid;//說明沒有取到填充陣列末尾的重複元素
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}