斐波那契數列介紹
斐波那契數，通常用 F(n) 表示，形成的序列稱為 斐波那契數列 。該數列由 0 和 1 開始，後面的每一項數字都是前面兩項數字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
相關題目參考：LeetCode_0509_FibonacciNumber
思路
暴力解法：遞迴版本
public static int fib(int N) {
if (N <= 0) {
return 0;
}
if (N == 1 || N == 2) {
return 1;
}
return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}
暴力解法：迭代版本
public static int fib2(int N) {
if (N <= 0) {
return 0;
}
if (N == 1 || N == 2) {
return 1;
}
int first = 1;
int second = 1;
int result = 0;
for (int i = 3; i <= N; i++) {
result = first + second;
first = second;
second = result;
}
return result;
}
最優解
如果某個遞迴，除了初始項之外，具有如下的形式
F(N) = C1 * F(N) + C2 * F(N-1) + ... + Ck * F(N-k) ( C1...Ck 和k都是常數)
並且這個遞迴的表示式是嚴格的、不隨條件轉移的, 那麼都存在類似斐波那契數列的優化，時間複雜度都能優化成O(logN),
斐波那契數列的通項公式
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2)
斐波那契數列的任意項（以F2，F3，F4為例），都有如下公式：
|F2,F3| * |a,b| = |F3,F4|
|c,d|
其中，矩陣中a = 0, b = 1, c = 1, d = 1
所以針對斐波那契第N項，有
|F(N),F(N-1)| = |F2,F1| * |0,1| ^ (N - 2)
|1,1|
所以優化的關鍵在於，求一個矩陣的(N - 2)次方如何更快，我們可以參考求一個整數的N次方如何最快，可以通過快速冪方式來計算。
比如：
求6的5次方
可以這樣來求，
先把5轉換成二進位制0101, 準備一個變數t，初始等於6， 準備一個變數ans, 初始等於1，
從右到左遍歷5的二進位制位,
如果遇到1則：ans *= t 且 t *= t,
如果遇到0則不需要處理ans，只需要t *= t,
直到遍歷完成5的二進位制位，ans即為答案，整個複雜度為 O(logN),
詳細可以參考： x的n次冪, 程式碼為：
public class LintCode_0428_PowXN {
// 類fabanacci問題
// pow X N ( N 轉成2進位制）
// 複雜度 log（N）
public static double myPow(double x, int n) {
int pow = Math.abs(n == Integer.MIN_VALUE ? n + 1 : n);
double ans = 1D;
double t = x;
while (pow != 0) {
if ((pow & 1) != 0) {
ans *= t;
}
pow >>= 1;
t *= t;
}
if (n == Integer.MIN_VALUE) {
ans *= x;
}
if (n < 0) {
ans = 1D / ans;
}
return ans;
}
}
回到斐波那契數列問題，一個矩陣的N次方，也可以優化成O(logN)的解法, 在斐波那契問題中， ans變數初始為單位矩陣，即：
|1,0|
|0,1|
t 在斐波那契問題下初始為
|0,1|
|1,1|
邏輯和求N的X次冪一樣，只不過N的X次冪中 t 和 ans 變數都是數字相乘，而斐波那契問題是矩陣相乘，矩陣相乘的規則請參考線性代數的知識, 完整程式碼如下
// 最優解 O(log^N)
public static int fib3(int N) {
if (N <= 0) {
return 0;
}
if (N == 1 || N == 2) {
return 1;
}
int[][] matrix = matrixPow(new int[][]{{0, 1}, {1, 1}}, N - 2);
return matrix[0][1] + matrix[1][1];
}
public static int[][] matrixPow(int[][] matrix, int n) {
int[][] ans = new int[][]{{1, 0}, {0, 1}};
int[][] t = matrix;
while (n != 0) {
if ((n & 1) != 0) {
ans = matrix(t, ans);
}
n >>= 1;
t = matrix(t, t);
}
return ans;
}
public static int[][] matrix(int[][] A, int[][] B) {
int[][] result = new int[2][2];
result[0][0] = A[0][0] * B[0][0] + A[0][1] * B[1][0];
result[0][1] = A[0][0] * B[0][1] + A[0][1] * B[1][1];
result[1][0] = A[1][0] * B[0][0] + A[1][1] * B[1][0];
result[1][1] = A[1][0] * B[0][1] + A[1][1] * B[1][1];
return result;
}
類斐波那契問題都可以用如上的優化方法來計算，
例如，某個問題的第N項的通項公式是：
F(N) = 6 * F(N-1) + 3 * F(N-5)
那麼，要求其第N項的值，可以轉換成如下矩陣公式，
|Fn,Fn-1,Fn-2,Fn-3,Fn-4| = |F5,F4,F3,F2,F1|x|5x5|^(N-5)
列出其中前幾個項並帶入求出|5x5| 這個5 乘以 5的矩陣中每個位置的數字，然後參考快速冪的演算法，即可解答。
類斐波那契數列問題
什麼時候不能用斐波那契問題的相關公式來解
注意：如果存在條件轉移，那就用不了類斐波那契問題的相關公式 例如：Code_0056_ConvertToLetterString.java