Ch3 確定性推理
是指按照某種策略從已知事實出發去推出結論的過程。
- 推理策略
主要解決推理方向、衝突消解等問題，如推理方向控制策略、求解策略、限制策略、衝突消解策略等 - 搜尋策略
主要解決推理線路、推理效果、推理效率等問題。
推理的邏輯基礎
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解釋：對於謂詞公式\(P\)，如果對其中的常元指派一個元素，變元指派一個集合，每一個 n 元函式指派一個對映，一個 n 元謂詞指派一個對映，則稱為謂詞公式的解釋。
可以看出，一個謂詞公式有很多種解釋，而每種解釋都對應一個真值。
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永真：如果一個謂詞公式對非空個體域\(D\)所有解釋下都為真，則稱為永真。
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可滿足：如果一個謂詞公式對某個非空個體域\(D\)的某個解釋下為真，則稱為可滿足。謂詞公式的可滿足性也稱為相容性
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等價：如果兩個謂詞公式在某個個體域\(D\)的所有解釋下都有相同的真值，則稱為等價。
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前束正規化：如果一個謂詞公式的量詞部分均非否定地只出現在公式的最前面，則稱為前束正規化。
例： \(\forall x \exists y P(x,y) \land Q(x)\) 是前束正規化
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Skolem 正規化：如果一個謂詞公式的量詞部分均非否定地只出現在公式的最前面，且所有的存在量詞都在全稱量詞之前，則稱為 Skolem 正規化。
例： \(\exist y \forall x P(x,y) \land Q(x)\)
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置換： 可以簡單理解為在一個謂詞公式中使用置換項替換變元。是形如${ t_1/x_1, \dots, t_n/x_n } $的有限集合，其中 \(t_i\) 是項，\(x_i\) 是互不相同的變元。要求 \(t_i\) 中不包含 \(x_i\)， \(x_i\) 也不在 \(t_j\) 中出現。
例如：\(P(x,y) \land Q(x) \{ a/x, b/y \} = P(a,b) \land Q(a)\)
置換的得到的新的公式可以被稱作例示，是原公式的邏輯結論 -
置換的合成：假設我們有兩個置換 (\sigma) 和 (\tau)，它們分別將某些變數對映到某些項。置換 (\sigma) 和 (\tau) 的合成記作 (\sigma \circ \tau)，表示先應用置換 (\tau)，然後再應用置換 (\sigma)。
如果 (\sigma = {x_1 \mapsto t_1, x_2 \mapsto t_2, \ldots, x_n \mapsto t_n}) 和 (\tau = {y_1 \mapsto s_1, y_2 \mapsto s_2, \ldots, y_m \mapsto s_m})，那麼合成置換 (\sigma \circ \tau) 是一個新的置換，它將每個變數 (x) 對映到 (\sigma(\tau(x)))。
示例：
假設有兩個置換：
- (\sigma = {x \mapsto a, z \mapsto b})
- (\tau = {y \mapsto x, z \mapsto f(x)})
將這兩個置換合成得到 (\sigma \circ \tau)：
- 先應用 (\tau)：對於任意變數 (v)，將其替換為 (\tau(v))
- (y) 被替換為 (x)
- (z) 被替換為 (f(x))
- 再應用 (\sigma)：將 (\tau(v)) 中的變數繼續替換為 (\sigma) 中對應的值
- (x) 被替換為 (a)
- (f(x)) 中的 (x) 被替換為 (a)，得到 (f(a))
因此，合成置換 (\sigma \circ \tau = {y \mapsto a, z \mapsto f(a)})。
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合一： 是指兩個項之間的一種特殊的置換，使得這兩個項在這個置換下相等。合一是一種特殊的置換，它將兩個項對映到相同的值。
例如，假設有兩個項 (f(x, y)) 和 (f(a, b))。這兩個項可以透過合一 ({x \mapsto a, y \mapsto b}) 相等。
示例：
假設有兩個項 (f(x, y)) 和 (f(a, b))。這兩個項可以透過合一 ({x \mapsto a, y \mapsto b}) 相等。
合一的另一個示例是 (f(x, g(y))) 和 (f(a, g(b)))。這兩個項可以透過合一 ({x \mapsto a, y \mapsto b}) 相等。
自然演繹推理
從一組已知為真的事實出發，直接運用經典邏輯中的推理規 則推出結論的過程稱為自然演繹推理
歸結演繹推理
在人工智慧中，幾乎所有的問題都可以轉化為一個定理證明問題。定理證明的實質，就是要對前提 P 和結論 Q，證明 P→Q 永真。
證明永真非常困難，因此我們通常採用反證法，即證明 \(P \land \lnot Q\)不可滿足。這樣，我們就可以透過歸結演繹推理來證明 \(P \to Q\)。
子句和子句集
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子句：是一個或多個文字的析取，其中每個文字都是一個謂詞符號或其否定。
例如，\(P(x) \lor Q(y)\) 是一個子句，\(P(x) \lor Q(y) \lor R(z)\) 也是一個子句。
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空子句：不包含任何文字的子句，通常用符號 \(\square\) 表示。
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子句集：子句的集合
子句集的化簡
對每一個子句，我們要將其化為所有全是全稱量詞的前束正規化，隨後消去全稱量詞。
如果有存在量詞被全稱量詞約束，我們可以使用 Skolem 函式將其消去。
同時要消去全稱量詞，由於母式中的全部變元均受全稱量詞的約束，並且全稱量詞的次序已無關緊要，因此可以省掉全稱量詞。但剩下的母式，仍假設其變元是被全稱量詞量化的
隨後將合取正規化中的每一個子句拆分，得到一個子句集。
魯濱遜歸結原理
由於在消去存在量詞時所用的 Skolem 函式可以不同，因此化簡後的標準子句集是不唯一的
但當原謂詞公式為永假（或不可滿足）時，其標準子句集則一定是永假的，即 Skolem 化並不影響原謂詞公式的永假性。
定理 3.1 設有謂詞公式 F，其標準子句集為 S，則 F 為不可滿足的充要條件是 S 為不可滿足的
兩個關鍵：
- 第一，子句集中的子句之間是合取關係。因此，子句集中只要有一個子句為不可滿足，則整個子句集就是不可滿足的；
- 第二，規定空子句是不可滿足的。因此，一個子句集中如果包含有空子句，則此子句集就一定是不可滿足的。
歸結式：設 C1 和 C2 是子句集中的任意兩個子句，如果 C1 中的文字 L1 與 C2 中的文字 L2 互補，那麼可從 C1 和 C2 中分別消去 L1 和 L2，並將 C1 和 C2 中餘下的部分按析取關係構成一個新的子句 C12
定理 3.2 歸結式 C12 是其親本子句 C1 和 C2 的邏輯結論， 即如果 C1， C2 關於解釋 I 為真，則 C12 也為真
推論 1：設 C1 和 C2 是子句集 S 中的兩個子句，C12 是 C1 和 C2 的歸結式，若用 C12 代替 C1 和 C2 後得到新的子句集 S1，則由 S1 的不可滿足性可以推出原子句集 S 的不可滿足性。即：S1 的不可滿足性 ⇒ S 的不可滿足性
推論 2：設 C1 和 C2 是子句集 S 中的兩個子句，C12 是 C1 和 C2 的歸結式，若把 C12 加入 S 中得到新的子句集 S2，則 S 與 S2 的不可滿足性是等價的。即：S2 的不可滿足性 ⇔S 的不可滿足性
定理 3.3 子句集 S 是不可滿足的，當且僅當存在一個從 S 到空子句的歸結過程
有了上述定理，我們可以將結論的否定加入子句集，然後透過歸結過程來證明蘊含式的正確性。
在謂詞邏輯中，由於子句集中的謂詞一般都含有變元，因此不能象命題邏輯那樣直接消去互補文字。而需要先用一個最一般合一對變元進行代換，然後才能進行歸結。
人話：就是將全稱量詞置換到同一個符號，然後再進行歸結。
檢測題：
已知
• F: (∀x)((∃y)(A(x, y)∧B(y))→(∃y)(C(y)∧D(x, y)))
• G: ﹁(∃x)C(x)→(∀x)(∀y)(A(x, y)→﹁B(y))
求證 G 是 F 的邏輯結論。
解決複雜問題
某記者到一孤島採訪，遇到了一個難題，即島上有許多人說假話，因而難以保證新聞報導的正確性，不過有一點他是清楚的，這個島上的人有一特點：說假話的人從來不說真話，說真話的人也從來不說假話。一次記者遇到了孤島上的三個人，為了弄清楚誰說真話，誰說假話，他向這三個人中的每一個都提了一個同樣的問題，即 “誰是說謊者？”
結果 A 答“B 和 C 都是說謊者”，
B 答“A 和 C 都是說謊者”，
C 答“A 和 B 中至少有一個 是說謊者”
歸結策略
歸結策略是指在歸結過程中，如何選擇兩個子句進行歸結。歸結策略的選擇直接影響到歸結的效率。
- 廣度優先策略
(1)從 S0 出發，對 S0 中的全部子句作所有可能的歸結，得到第一層歸結式，把這些歸結式的集合記為 S1;
(2) 用 S0 中的子句與 S1 中的子句進行所有可能的歸結，得到第二層歸結式，把這些歸結式的集合記為 S2;
(3) 用 S0 和 S1 中的子句與 S2 中的子句進行所有可能的歸
結，得到第三層歸結式，把這些歸結式的集合記為 S3;
如此繼續，直到得出空子句或不能再繼續歸結為止
當問題有解時，能夠保證找到最短的歸結路徑與解，但是會產生組合爆炸的問題。
- 支援集策略