穩定性

1.2 穩定性的定義

從直觀上解釋了穩定性的含義，下面將介紹嚴謹的數學定義。在 1892 年，俄國數學家亞歷山大·李雅普諾夫（Aleksandr Lyapunov）在其博士論文《運動穩定性的一般問題》中提出了穩定性的科學概念。本書將選用這個概念來定義系統的穩定性，它是一個通用的概念，既可以運用線上性系統中，也可以運用到非線性的系統分析中。

首先介紹平衡點的定義，考慮一個無輸入的狀態空間方程表示式，即 \(\frac{d z(t)}{d t}=f(z(t))\)。中的\(f(z(t))\)可以是線性的，也可以是非線性的，它是一個通用的表示式，其中，\(z(t)\)是系統的狀態變數。

定義 \(z_1\) 是系統的平衡點，如果在 \(t = t_0\) 時刻狀態變數的初始值 \(z(t_0)=z_1\)，那麼 \(z(t)=z_{f},\forall t\geq t_{0}\)。其中，\(\forall\) 代表“對於任意，或對所有（for all）”。式(6.1.2a)說明當系統初始狀態處於平衡點時，狀態變數將不會隨時間發生改變，例如圖 中小球在初始狀態時處於 A、B、C 三個位置，同時，根據式(6.1.1)，有：

\[\begin{aligned} &z(t)=z_{i} \\ \Rightarrow &\frac{d z(t)}{d t}=0 \\ \Rightarrow &f(z_{i})=0,\forall t\geq t_{0} \end{aligned} \]

在接下來的分析中，我們將假設系統的平衡點在 \(z_1 =[0]\) 位置，或者可以轉換到零點位置，這個假設不會影響系統的一般性。

定義兩個重要的穩定性概念：

1. 李雅普諾夫意義下的穩定性：對於任意給定的正實數 $ \varepsilon > 0 $，存在一個正實數 $ \delta(\varepsilon) > 0 $，使得如果系統在初始時刻 $ t_0 $ 的狀態 $ |z(t_0)| < \delta(\varepsilon) $，則對於所有 $ t \geq t_0 $，系統狀態 $ |z(t)| < \varepsilon $。這意味著系統狀態始終在平衡點的鄰域內，並且這個鄰域的大小可以透過選擇足夠小的 $ \delta $ 來控制。

2. 漸進穩定性：系統狀態不僅保持在平衡點的鄰域內，而且最終會收斂到平衡點。數學上表達為，對於上述的 $ \varepsilon $ 和 $ \delta $，如果 $ |z(t_0)| < \delta $，則 $ \lim_{t \to \infty} |z(t)| = 0 $。這表明，隨著時間的推移，系統狀態 $ z(t) $ 將無限接近於平衡點 $ z_f = 0 $。

漸近穩定性是比李雅普諾夫穩定性更強的條件，因為它不僅要求系統狀態保持在平衡點的鄰域內，還要求系統狀態最終收斂到平衡點。這種穩定性在工程和物理系統中非常重要，因為它確保了系統在受到小擾動後能夠返回並穩定在期望的工作點。