我理解的 KMP 演算法

最近一段時間，我一直在看 KMP 字串模式匹配演算法的各種不同解釋。因為各種原因，沒有找到一種我覺得好的解釋。當我讀到“……的字首的字尾的字首”時，我會不停地拍自己的腦袋。

最後，花了大約30分鐘將《演算法導論》裡相同的部分反反覆覆讀了以後，我決定坐下來做一些例子和圖解。現在，我已經搞清楚了這個演算法並能對它解釋。對於那些和我有一樣想法的人，下面是我自己的理解。一方面，我不打算解釋為什麼它比樸素的字串匹配效率更高；這些在很多地方都已經解釋得非常好了。我要說明的是，它究竟是如何工作的。

部分匹配表

毫無疑問，KMP演算法的精髓是部分匹配表。我理解KMP演算法時，最大的障礙就在於是否充分明白部分匹配表裡的值所代表的意義。下面我會盡可能簡單地來解釋這些。

下面這個是“abababca”這個模板的部分匹配表：

char:   | a | b | a | b | a | b | c | a |

index: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

value: | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |

如果我有一個8個字元的模板（這裡我們就用“abababca”來舉例子），我的部分匹配表將會有8格。如果此時此刻我正匹配模板的第8格即最後一格，那意味著我匹配了整個模板（“abababca”）；如果我正匹配模板的第7格，則意味著當前僅匹配了整個模板的前7位（“abababc”），此時第8位(“a”)是無關的，不用去管它；如果我此時此刻正匹配模板的第6格，那意味著……看到這裡你應該已經明白我的意思了。目前我還沒有提到部分匹配表每格資料的含義，在這裡僅僅是交代了大概。

現在，為了說明剛剛提到的每格資料的含義，我們首先要明白什麼是最優字首什麼是最優字尾。

最優字首：一個字串中，去除一個或多個尾部的字元所得的新字串就是最優字首。例如 “S”、 “Sn”、 “Sna”、 “Snap”都是“Snape”的最優字首。

最優字尾：一個字串中，去除一個或多個首部的字元所得的新字串就是最優字尾。例如“agrid”、 “grid”、“rid”、 “id”、“d”都是 “Hagrid”的最優字尾。

有了兩個概念，我現在可以用一句話來概括部分匹配表裡每列資料的含義了：

模板（子模板）中，既是最優字首也是最優字尾的最長字串的長度。

下面我舉例說明一下這句話。我們來看部分匹配表的第3格資料，如果你還記得我在前面提到的，這意味著我們目前僅僅關心前3個字母（“aba”）。在“aba”這個子模板中，有兩個最優字首（“a”和“ab”）和兩個最優字尾（“a”和“ba”）。其中，最優字首“ab”並不是最優字尾。因此，最優字首與最優字尾中，相同的只有“a”。那麼，此時此刻既是最優字首也是最優字尾的最長字串的長度就是1了。

我們再來試試第4格，我們應該是關注於前4個字母（“abab”）。可以看出，有3個最優字首（“a”、“ab”、 “aba”）和3個最優字尾（“b”、“ab”、“bab”）。這一次 “ab” 既是最優字首也是最優字尾，並且長度為2，因此，部分匹配表的第4格值為2。

這是很有趣的例子，我們再看看第5格的情況，也就是考慮“ababa”。我們有4個最優字首（“a”、 “ab”、“aba”，和“abab”）和4個最優字尾（“a”、 “ba”、“aba”，和“baba”）。現在，有兩個匹配“a”和“aba” 既是最優字首也是最優字尾，而“aba”比“a”要長，所以部分匹配表的第5格值為3。

跳過中間的直接來看第7格，此時只考慮字母“abababc”。即使不一一列舉出所有的最優字首與最優字尾也不難看出，這兩個集合之間不會有任何的交集。因為，所有最優後綴都以“c”結尾，但沒有任何最優字首是以“c”結尾的，所以沒有相匹配的，因此第7格值為0。

最後，讓我們看看第8格，也就是考慮整個模板（abababca）。它的最優字首與最有字尾都以“a”開頭以“a”結尾，所以第8列的值至少是1。然而1就是最終結果了，所有長度大於等於2的最優字尾都包含“c”，但只有“abababc”這一個最優字首包含“c”，這個7位的最優字尾“bababca”並不匹配，所以第8列最終賦值為1。

如何使用部分匹配表

當我們找到了部分匹配的字串時，可以用部分匹配表裡的值來跳過前面一些字元（而不是重複進行沒有必要的比較）。具體是這樣工作的：

如果已經匹配到的部分字串的長度為partial_match_length且 table[partial_match_length] > 1，那麼我們可以跳過partial_match_length- table[partial_match_length – 1]個字元。

比如，我們拿“abababca”來這個模板來匹配文字“ bacbababaabcbab”的話，我們的部分匹配表應該是這樣的：

第一次匹配的時候是在這裡

partial_match_length值為1，對應的table[partial_match_length – 1] （即table[0]）值為0。所以，這種情況下我們不能跳過任何字元。下一次的匹配是這裡：

partial_match_length值為5，對應的 table[partial_match_length – 1] （即 table[4]）值為3。這意味著我們可以跳過 partial_match_length- table[partial_match_length – 1] （即 5 – table[4] 或5 – 3 亦即 2）個字元：

partial_match_length值為3，對應的 table[partial_match_length – 1] （即 table[2]）值為1，這意味著我們可以跳過 partial_match_length- table[partial_match_length – 1] （即 3- table[2] 或3 – 1亦即 2）個字元：

現在，模板長度大於所剩餘的目標字串長度，所以我們知道不會再有匹配了。

結語

那麼你應該搞明白了吧。就像我一開始說的，這篇文章沒有關於KMP多餘的解釋或者或枯燥的證明；而是我自己的理解，以及我發現的容易讓人感到迷惑部分的詳盡解釋。如果你有任何疑問或者發現我這篇文章哪裡寫錯了，請給我留言；也許我們都會有所收穫。