KMP演算法

wbw121124發表於2024-07-16
KMP演算法

KMP演算法

KMP演算法是一個字串演算法，通常用於匹配字串。

KMP演算法的原理

如果我們暴力列舉下標 \(i,j\)，\(i\) 是文字串的下標，\(j\) 是模式串（你要在文字串中匹配的字串）的下標，時間複雜度 \(O(NM)\)，其中 \(N,M\) 分別為文字串和模式串的長度。

我們看一下匹配過程：（gif 動圖請耐心觀看）

時間複雜度高吧，出題人隨便就 \(hack\) 掉了。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
文字串 x y x y x y x y x w
模式串 x y x y x y w y

咦？我們會發現 \(文字串.substr(3,4)=模式串.substr(1,4)=模式串.substr(3,4)="xyxy"\)，這樣我們 \(i=7,j=7\) 匹配失敗時可以跳 \(2\) 次（\(j=3\)），就可以達到正確性和時間複雜度平衡的效果。

我們維護 \(nxt_i\) 表示s和s以i結尾的最長公共前字尾的長度，這樣我們在 \(文字串_i,模式串_j\) 匹配失敗時 \(j\) 可以直接跳到 \(nxt_j\)。

維護 nxt[i]

若 \(s_i==s_j\) 也就是 \(模式串_i,模式串_j\) 匹配時，nxt[++i]=++j（其他同理寫法也可以，最好固定一個寫法），否則按文字串和模式串匹配失敗來。

程式碼

void getNext(string s)//初始化和文字串沒關係
{
	nxt[0] = -1;
	int i = 0, j = -1;
	while (i < s.size())
		if (j == -1 || s[i] == s[j])
			nxt[++i] = ++j;
		else
			j = nxt[j];
	return;
}
void KMP(string s, string t)//P3375的詢問程式碼
{
	getNext(t);
	int i = 0, j = 0;
	while (i < s.size())
	{
		if (j == t.size() - 1 && s[i] == t[j])
		{
			cout << i - j + 1 << '\n';
			j = nxt[j];
		}
		if (j == -1 || s[i] == t[j])
			i++, j++;
		else
			j = nxt[j];
	}
	return;
}

nxt 陣列的性質

  1. nxt[i] 既表示以i結尾的最長公共前字尾的長度，又表示 \(i\) 失配時跳躍的位置；
  2. nxt[i] 越大，匹配的速度越慢，但至少移動 \(1\) 步；
  3. 對於字串 \(s\)，nxt[] 的最大下標 s.size()；

KMP演算法應用

P3375 【模板】KMP

P4391 [BOI2009] Radio Transmission 無線傳輸

給你一個字串 \(s_1\)，它是由某個字串 \(s_2\) 不斷自我連線形成的（保證至少重複 \(2\) 次）。但是字串 \(s_2\) 是不確定的，現在只想知道它的最短長度是多少。

不想說過程，直接說結論：ans = n - nxt[n]

CF1200E Compress Words

cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
	cin >> s;
	if (ans.empty())
		ans = s;
	else
	{
		int len = min(s.size(), ans.size());
		string s1 = s.substr(0, len);
		string s2 = ans.substr(ans.size() - len, len);
		string s3 = s1 + "#" + s2;//中間必須拼上"#"，不然有可能最長公共前字尾重合。
		getNext(s3);
		ans += s.substr(nxt[s3.size()]);
	}
}
cout << ans;

CF126B Password

  1. 目標子串 \(t\) 一定是 \(s\) 的公共前字尾；
  2. 求出 nxt[] 陣列，並擷取最長公共前字尾 \(tmp\);
  3. 在 \(s[1, len-2]\) 範圍內跑KMP，若找到 \(tmp\)，則 \(tmp\)就是答案；
  4. 若 nxt[nxt[n]] != -1，則 \(s[0,nxt[nxt[n]]\) 即為答案；

P3435 [POI2006] OKR-Periods of Words

  1. 根據畫圖推導，對於 \(s\) 的每一個字首 \(t\)，要找 \(t\) 的最短公共前字尾；
int find(int x)//最短公共前字尾
{
	if (nxt[x] <= 0)
		return x;
	return nxt[x] = find(nxt[x]);
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> n >> s;
	getNext(s);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ans += i - find(i);
	cout << ans;
	return 0;
}

P4824 [USACO15FEB] Censoring S

  1. 刪除 \(t\) 串之後產生的新的 \(t\) 串的起點一定在刪除位置的左側；
  2. 後出現 \(t\) 串先處理，考慮用棧維護；
  3. 棧中儲存的下標維護已經匹配的 \(t\) 串的位數，match[i]；
//兩種寫法：
//1
void KMP(string s, string t)
{
	getNext(t);
	int i = 0, j = 0;
	while (i < s.size())
	{
		/*if (j == t.size() - 1 && s[i] == t[j])
		{
			cout << i - j + 1 << '\n';
			j = nxt[j];
		}*/
		if (j == -1 || s[i] == t[j])
		{
			st.push_back({ s[i],j + 1 });
			i++, j++;
		}
		else
			j = nxt[j];
		if (j == t.size())
		{
			for (int i = 1; i <= t.size(); i++)
				st.pop_back();
			j = st.back().second;
		}
	}
	return;
}
//2
void KMP(string s, string t)
{
	getNext(t);
	int i = 0, j = 0;
	while (i < s.size())
	{
		if (j == t.size() - 1 && s[i] == t[j])
		{
			i++;
			for (int i = 1; i < t.size(); i++)
				st.pop_back();
			j = st.back().second;
			continue;
		}
		if (j == -1 || s[i] == t[j])
		{
			st.push_back({ s[i],j + 1 });
			i++, j++;
		}
		else
			j = nxt[j];
	}
	return;
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> s >> t;
	KMP(s, t);
	for (auto& [x, y] : st)
		cout << x;
	return 0;
}

P4591 [TJOI2018] 鹼基序列

截止 \(2024\) 年 \(7\) 月 \(16\) 日，此題難度 \(\color{#9d3dcf} 省選/NOI−\)。

  1. 定義 \(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 個氨基酸可能的鹼基序列以 \(s_j\) 結尾的可能的方案數；
  2. 答案為：\(\sum^{s.size()-1}_ {i=0}dp_{n,i}\)；
  3. 狀態轉移方程：dp[i][j+t.size()-1]=dp[i-1][j-1]（這裡我寫的是雜湊的）；
  4. 初始狀態：dp[0][i]=1。
void KMP(string s, string t)
{
	getNext(t);
	int i = 0, j = 0;
	while (i < s.size())
	{
		if (j == t.size() - 1 && s[i] == t[j])
		{
			dp[cnt][i] += dp[cnt - 1][i - j - 1];
			j = nxt[j];
			continue;
		}
		if (j == -1 || s[i] == t[j])
			i++, j++;
		else
			j = nxt[j];
	}
	return;
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> n >> s;
	s = "#" + s;
	for (int i = 0; i < s.size(); i++)
		dp[0][i] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int x;
		cin >> x;
		cnt = i;
		while (x--)
		{
			cin >> t;
			KMP(s, t);
		}
	}
	for (int i = 0; i < s.size(); i++)
		ans += dp[n][i];
	cout << ans % mod;
	return 0;
}

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