解讀KMP演算法

Hlooog發表於2021-03-03

前後斷斷續續搞了5個月,每次都以為自己懂了, 但是要寫的時候都不知從何下手,然後又是各種找部落格,看帖子,所以這次試著用自己的語言寫一個部落格。
首先,KMP演算法就是從一個模板字串(S) 中匹配目標字串(P)。匹配的話,首先就是想到了暴力匹配,也就是用兩個下標表示在S的下標(si) 和 P的下標(pi), 然後進行迴圈,如果s.chatAt(si)==p.chatAt(pi)就是si ++, pi++; 如果不相等的話,就需要把si = si - pi + 1, pi = 0; ,然後判斷 pi == p.length()
相等的話,就是匹配成功,可以返回, 不相等就繼續。 下面貼一下程式碼, 圖就不畫了。

   public int violenceMatch(String s, String p){
     int sLen = s.length(), pLen = p.length();
     int si = 0, pi = 0;
     while (si < sLen && pi < pLen) {
       if (s.charAt(si) == p.charAt(pi)) {
         si++;
         pi++;
       } else {
         si = si - pi + 1;
         pi = 0;
       }
     }
     if (pi == pLen) {
       return si - pi;
     } else {
       return  -1;
     }
   }

使用暴力匹配的缺點很明顯,就是每次失配(就是s.chatAt(si) != p.chatAt(pi)的時候,需要把 si 的位置 置為s.chatAt(si)==p.chatAt(pi)開始的點的下一位,這樣會出現很多重複無效的匹配。
KMP演算法就是把這些重複無效的匹配解決了,具體怎麼解決,這個也是KMP演算法的精髓(next陣列的求解)。 關於next陣列的求解,我們稍後說,我們先體會一下 怎麼使用KMP演算法來進行字串匹配(如果只想瞭解next陣列是怎麼求出來的,可以跳過這部分), 舉個例子,有模式串S: "CDABADABCABADABAB", 目標串P: "ABADABAB"用目標串推出的next陣列是{0,0,1,0,1,2,3,2}(後面會具體講怎麼推出來的),現在我們開始使用KMP演算法進行匹配。一開始是 si = 0, pi = 0
alt kmp
我們可以看到這個位置不匹配的,然後因為當前pi == 0 所以直接si += 1 pi 不動 進行下一步 此時 si = 1,pi = 0
alt kmp

此時也是不匹配的, 然後重複上一步, 此時 si = 2, pi = 0
alt kmp

si = 2, pi= 0的時候,s.chatAt(si) == p.chatAt(pi) ,所以此時 si += 1, pi += 1, 重複這樣匹配,我們發現在si = 8,pi=6的時候失配了,這是用就需要用到我們的next陣列了。
這裡先簡單說next陣列的一樣,是當前下標所對應的最長公共前字尾,注意是最長,不是個數,是長度!!! 公共前字尾,都是基於當前下標來說的。舉個例子 ABA 這個next陣列是 {0 0 1} 對於0下標,沒有前字尾, 因為只有1個數, 對於1的下標,字首是A, 字尾是B,A != B, 所以還是0, 對於2的下標,字首有 A, AB,字尾有 BA,A,所以值為1 ,後面會有詳細的介紹,這裡只要分辨出字首和字尾就可以了。
回到正題, 我們當前位置是失配, 所以需要用到next陣列,那麼這個next陣列在這裡有什麼用呢? 我們試想一下,在當前下標失配, 說明我前面的都是可以匹配上的,我們的next陣列是儲存了最長的公共前字尾,我們是不是可以把失配下標的前一個位置在next陣列中對應的最大公共前字尾值來作為目標串(P)移動的距離,因為我當前失配的下標的前一個下標有一定的匹配距離,然後這個下標所對應的字首是不是可以省略比對,直接移動最長公共前字尾的距離。 這裡pi = 6的時候失配, next[6 - 1] = 2, 也就是字首AB (下標0、1)和 字尾AB(下標4、5),我們是不是可以省略AB的比較,直接從 ABAD的A開始繼續匹配。因為對於 pi = 6來說, pi = 4, pi=5都是和S串上可以匹配上,省略pi = 0, pi = 1的比較,直接從pi = 2開始和si= 8 繼續比對,所以下標變化是si = 8, pi = next[6 - 1]=2也就是下圖:
alt kmp

此時對於si = 8, pi= 2 仍然沒有匹配上,然後再次使用next陣列, next[2 - 1] = 0,所以有 si = 8, pi = next[2 - 1] = 0
alt kmp

此時還是沒有匹配上,但是pi = 0, 所以 si+=1,此時 si = 9, pi = 0
alt kmp

後面下去都是匹配上了。所以可以返回下標。
可能看到這裡,你還是疑惑這個next下標為什麼要這樣用呢?這裡總結一下,然後就解釋next陣列的推導過程。 我們在 失配的時候,就需要移動目標串,問題是移動多少呢?不同於暴力匹配的做法,將 si和pi都一起移動,而是隻移動 pi,這個移動的距離,和next陣列有關,我們當前失配的位置的前一個位置是可以和S模式串失配前的位置是可以匹配的,所以我們只要移動當前pi的前一個位置的最大公共前字尾距離,然後原本由字尾匹配的字元給字首匹配(因為知道了最大公共前字尾的距離,所以這部分只是移動而已,不需要再重新的匹配),然後在失配的地方繼續進行新的比對。
這裡開始講解一下next的推導。我們在前面提到過,next陣列對於當前下標所對應的最長公共前字尾,所以我們從index = 1 開始,因為 0 下標只有1個字元,沒有前字尾
alt next

對於下標1,我們可以很清楚的看到, 字首是A, 字尾是B,A != B, 所以next[index] = 0,對下標index = 2進行檢視
alt next

對於下標2,我們也可以很清楚的看到,字首是A、AB,字尾是BA,A,只有A == A,所以next[index] = 1,好像到這裡還是很簡單,我們可以先推出一個公式,p.chatAt(index) == p.chatAt(next[index - 1]) 成立的話 next[index] = next[index - 1] + 1, 不成立的話 next[index] = 0,後面我們就用這個公式進行求解,看下這個公式是否成立,在驗證結果之前,我先說一下為什麼會得出這樣的公式, next陣列是儲存了最長公共前字尾,這個概念說過很多次了,因為它特別重要。 我們對於當前下標,要想找到最長的公共前字尾,最好的辦法就是在前一個下標的最長公共前字尾的基礎上+1,這點沒有問題吧,所以就有了 p.chatAt(index) == p.chatAt(next[index - 1])。 那麼接下來,我們就來驗證一下這個公式的正確性了。對於下標 index = 3,
alt next

p.chatAt(3) != p.chatAt(next[3 - 1])所以next[3] = 0,我們也可以看出next[3]確實是0, 繼續 index = 4
alt next

在index = 4的時候,有 p.chatAt(4) == p.chatAt(next[4 - 1]) 所以next[4] = next[4 - 1] + 1,確實沒錯,繼續index = 5
alt next

在next = 5的時候,有p.chatAt(5) == p.chatAt(next[5 - 1]) 所以next[5] = next[5 - 1] + 1,也沒有錯誤 ,繼續 index = 6
alt next

在next =6 的時候, 有p.chatAt(6) == p.chatAt(next[6 - 1]), 所以next[6] = next[6 - 1] + 1, 也沒有錯誤,繼續 index = 7
alt next

在next = 7 的時候, 有p.chatAt(7) != p.chatAt(next[7 - 1]), 按照公式,此時的next[7] 應該是0 才對呀,但是我寫的是 2,我們可以看一下,確實也是2 因為字首 AB 和字尾AB相等,所以是2, 但是這是為什麼呢?我們可以知道 p.chatAt(7) 確實是不等於 p.chatAt(next[7 - 1]),但是不要忘記,我們的next儲存的是最長公共前字尾,next[7 - 1] = 3,說明下標0 、 1、 2和下標4、5、6是一一對應的,所以我們對下標4 和7進行比較,發現不相等,按照一開始的思路,我們會把next[7]設為0, 但是我們可以看一下下標 0、 1、 2 、 3這裡,對於下標3 是我們下標7要比較的,但是看一下下標2的位置在next陣列是1,這表明了,對於下標2,的最長公共前字尾是1,在求next[3]的時候,我們用p.chatAt(3) p.chatAt(next[3 - 1])進行比較,對於現在的下標7, 我們是不是可以把它當成是下標3 呢? 完全可以,因為下標0、1、2和下標4、5、6一一對應, 下標3 和7 沒有匹配上,就可以把下標7 看成是下標3, 此時應該是用 p.chatAt(7) 和 p.chatAt(next[3 - 1]), 對於為什麼前面是7 後面是next[3- 1] 而不是next[7 - 1]的,如果用next[7 - 1]了, 是不是就陷入了死迴圈了? 其實這裡也就是把3的下標當作是7來看待,對於3前面的沒有其他影響,所以才是這樣的。 那麼到了此時,我們可以很清晰的求出next陣列,然後結合前面的講解, 就是一個完整的KMP了。
第一次寫部落格寫了2000+字,花費了一些心血畫圖,試圖用最簡單的話來敘述這個演算法,但是好像沒有做到,有一些東西在我這個層次還沒有看到,所以也沒有用到最簡單的話來敘述完全部,大家能多看幾遍,也是可以理解這個演算法的精妙之處。最後貼一下完整程式碼:

package com.hl.solution;


/**
 * @author Hl
 * @create 2021/3/3 0:18
 */
public class KMP {

    public static void main(String[] args) {
        KMP kmp = new KMP();
        String s = "BBC ABCDAB ABCDABCDABDE";
        String p = "12";
        int i = kmp.kmpMatch(s, p);
        int j = kmp.violenceMatch(s, p);
        System.out.println("KMP演算法結果: "+i);
        System.out.println("暴力匹配結果: " + j);

    }
	
  // KMP匹配
    public int kmpMatch(String s, String p){
        int[] next = getNext(p);
        int sLen = s.length(), pLen = p.length();
        int sl = 0, pl = 0;
        while (sl < sLen) {
            if (s.charAt(sl) == p.charAt(pl)) {
                sl++;
                pl++;
            } else if (pl == 0) sl++;
            else pl = next[pl - 1];
            if (pl == pLen) {
                return sl - pl;
            }
        }
        return -1;
    }

  // 求next陣列
    public int[] getNext(String p){
        int[] next = new int[p.length()];
        for (int i = 1; i < p.length(); i++) {
            int index = next[i - 1];
            while (index > 0 && p.charAt(i) != p.charAt(index)) {
                index = next[index - 1];
            }
            if (p.charAt(i) == p.charAt(index)) {
                next[i] = index + 1;
            }
        }
        return next;
    }

  // 暴力匹配
    public int violenceMatch(String s, String p){
        int sLen = s.length(), pLen = p.length();
        int si = 0, pi = 0;
        while (si < sLen && pi < pLen) {
            if (s.charAt(si) == p.charAt(pi)) {
                si++;
                pi++;
            } else {
                si = si - pi + 1;
                pi = 0;
            }
        }
        if (pi == pLen) {
            return si - pi;
        } else {
            return  -1;
        }
    }
}

希望大家都能在我這裡得到一些收穫,感謝看了這麼久........

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