KMP演算法（Leetcode第28題）

okumiko發表於2020-12-07
KMP演算法LeetCode

實現 strStr() 函式。

給定一個 haystack 字串和一個 needle 字串，在 haystack 字串中找出 needle 字串出現的第一個位置 (從0開始)。如果不存在，則返回 -1。

示例 1:

輸入: haystack = “hello”, needle = “ll”
輸出: 2

示例 2:

輸入: haystack = “aaaaa”, needle = “bba”
輸出: -1

說明:

當 needle 是空字串時，我們應當返回什麼值呢？這是一個在面試中很好的問題。

對於本題而言，當 needle 是空字串時我們應當返回 0 。這與C語言的 strstr() 以及 Java的 indexOf() 定義相符。

int *getNext(const string &s) {
    int *next = new int[s.length()];
    next[0] = -1;
    if (s.length() == 1) return next;//如果子串只有一位，直接輸出next陣列
    next[1] = 0;//第二位固定是0，就是要回溯到首位
    int i = 1, j = 0;
    while (i < s.length() - 1) {//每次要確定的其實是i+1處不匹配，要移動到何處
        while (j > 0 && s[i] != s[j]) {
            j = next[j];//字首和字尾匹配與子串和主串匹配很相似
        }
        if (s[i] == s[j]) {//如果這一位相等，字首後移一位
            ++j;
        }
        ++i;//確定i+1處不匹配的情況
        next[i] = j;//如果是因為相等跳出遞迴，移動到j+1位，如果是因為遞迴到了0位跳出遞迴，移動到0位
    }
    return next;
}

int strStr(string haystack, string needle) {
    if (needle.empty()) return 0;
    int j = 0;
    int *next = getNext(needle);
    for (int i = 0; i < haystack.length(); ++i) {//遍歷主串
        while (j > 0 && haystack[i] != needle[j]) {
            j = next[j];//遞迴呼叫next陣列，直到回溯到0處或回溯到相等的位置
        }
        if (haystack[i] == needle[j]) {//如果這一位相等，子串對應位置後移
            ++j;
        }
        if (j == needle.length()) {//因為前面進行了後移操作，所以這裡比較的是length而不是length-1
            return i - j + 1;
        }
    }
    return -1;
}

以下文字轉載自：www.cnblogs.com/tangzhengyue/p/431...
作者：唐小喵

KMP的next陣列求法是很不容易搞清楚的一部分，也是最重要的一部分。我這篇文章就以我自己的感悟來慢慢推導一下吧！保證你看完過後是知其然，也知其所以然。

如果你還不知道KMP是什麼，請先閱讀上面的連結，先搞懂KMP是要幹什麼。
下面我們就來說說KMP的next陣列求法。
KMP的next陣列簡單來說，假設有兩個字串，一個是待匹配的字串strText,一個是要查詢的關鍵字strKey。現在我們要在strText中去查詢是否包含strKey，用i來表示strText遍歷到了哪個字元，用j來表示strKey匹配到了哪個字元。
如果是暴力的查詢方法，當strText[i]和strKey[j]匹配失敗的時候，i和j都要回退，然後從i-j的下一個字元開始重新匹配。
而KMP就是保證i永遠不回退，只回退j來使得匹配效率有所提升。它用的方法就是利用strKey在失配的j為之前的成功匹配的子串的特徵來尋找j應該回退的位置。而這個子串的特徵就是前字尾的相同程度。
所以next陣列其實就是查詢strKey中每一位前面的子串的前字尾有多少位匹配，從而決定j失配時應該回退到哪個位置。

我知道上面那段廢話很難懂，下面我們看一個彩圖：

這個圖畫的就是strKey這個要查詢的關鍵字字串。假設我們有一個空的next陣列，我們的工作就是要在這個next陣列中填值。
下面我們用數學歸納法來解決這個填值的問題。
這裡我們借鑑數學歸納法的三個步驟（或者說是動態規劃？）：

  1. 初始狀態
  2. 假設第j位以及第j位之前的我們都填完了
  3. 推論第j+1位該怎麼填

初始狀態我們稍後再說，我們這裡直接假設第j位以及第j位之前的我們都填完了。也就是說，從上圖來看，我們有如下已知條件：
next[j] == k;
next[k] == 綠色色塊所在的索引;
next[綠色色塊所在的索引] == 黃色色塊所在的索引;
這裡要做一個說明：圖上的色塊大小是一樣的（沒騙我？好吧，請忽略色塊大小，色塊只是代表陣列中的一位）。

我們來看下面一個圖，可以得到更多的資訊：

  1. 由”next[j] == k;”這個條件，我們可以得到A1子串 == A2子串（根據next陣列的定義，前字尾那個）。

  2. 由”next[k] == 綠色色塊所在的索引;”這個條件，我們可以得到B1子串 == B2子串。

  3. 由”next[綠色色塊所在的索引] == 黃色色塊所在的索引;”這個條件，我們可以得到C1子串 == C2子串。

  4. 由1和2(A1 == A2，B1 == B2)可以得到B1 == B2 == B3。

  5. 由2和3(B1 == B2， C1 == C2)可以得到C1 == C2 == C3。

  6. B2 == B3可以得到C3 == C4 == C1 == C2

上面這個就是很簡單的幾何數學，仔細看看都能看懂的。我這裡用相同顏色的線段表示完全相同的子陣列，方便觀察。

接下來，我們開始用上面得到的條件來推導如果第j+1位失配時，我們應該填寫next[j+1]為多少？

next[j+1]即是找strKey從0到j這個子串的最大前字尾：

#：(#:在這裡是個標記，後面會用)我們已知A1 == A2，那麼A1和A2分別往後增加一個字元後是否還相等呢？我們得分情況討論：

  1. 如果str[k] == str[j]，很明顯，我們的next[j+1]就直接等於k+1。

　　用程式碼來寫就是next[++j] = ++k;

  1. 如果str[k] != str[j]，那麼我們只能從已知的，除了A1，A2之外，最長的B1，B3這個前字尾來做文章了。

那麼B1和B3分別往後增加一個字元後是否還相等呢？

由於next[k] == 綠色色塊所在的索引，我們先讓k = next[k]，把k挪到綠色色塊的位置，這樣我們就可以遞迴呼叫”#：”標記處的邏輯了。

由於j+1位之前的next陣列我們都是假設已經求出來了的，因此，上面這個遞迴總會結束，從而得到next[j+1]的值。

我們唯一欠缺的就是初始條件了：

next[0] = -1, k = -1, j = 0

另外有個特殊情況是k為-1時，不能繼續遞迴了，此時next[j+1]應該等於0，即把j回退到首位。

即 next[j+1] = 0; 也可以寫成next[++j] = ++k;

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