【演算法】KMP演算法

HinanawiTenshi發表於2021-02-13
演算法KMP

簡介

KMP演算法由 Knuth-Morris-Pratt 三位科學家提出，可用於在一個 文字串 中尋找某 模式串 存在的位置。
本演算法可以有效降低在一個 文字串 中尋找某 模式串 過程的時間複雜度。（如果採取樸素的想法則複雜度是 \(O(MN)\) ）

題面：https://www.luogu.com.cn/problem/P3375

這裡樸素的想法指的是列舉 文字串 的起點，然後讓 模式串 從第一位開始一個個地檢查是否配對，如果不配對則繼續列舉起點。

前置知識

真字首
指字串左部的任意子串（不包含自身），如 abcde 中的 a,ab,abc,abcd 都是真字首但 abcde 不是。

真字尾
指字串右部的任意子串（不包含自身），如 abcde 中的 e,de,cde,bcde 都是真字尾但 abcde 不是。

字首函式
一個字串中最長的、相等的真字首與真字尾的長度， 如AABBAAA對應的字首函式值是 \(2\) 。

原理

注意：在分析的時候，我們規定字串的下標從 \(1\) 開始。

開始：
我們記掃描模式串的指標為j，而掃描文字串的指標為i，假設一開始i，j都在起點，然後讓它們一直下去直到完全匹配或者失配，比如：

j
ABCD

i
ABCDEFG

然後

 j
ABCD

 i
ABCDEFG

最後在此完成了一次匹配，類似地如果ABCD改為ABCC則在此失配。

   j
ABCD

   i
ABCDEFG

i，j運作模式如上。

KMP演算法就是，當模式串和文字串失配的時候，j指標從真字尾的末尾跳到真字首的末尾，然後從真字首後一位開始繼續匹配。（從而起到減少配對次數，這便是KMP演算法的核心原理）

結合例子解釋：

模式串： \(AABBAAA\)

文字串： \(AABBAABBAAA\)

j指標在最後一個A處失配。

      j
AABBAAA
      i
AABBAABBAAA

因為此時 以j為尾的字首 所對應的字首函式值是 \(2\) ，所以 j指標 跳到這裡：

 j
AABBAAA
      i
AABBAABBAAA

然後從下一位開始繼續配對：

  j
AABBAAA
      i
AABBAABBAAA

最後

      j
AABBAAA
          i
AABBAABBAAA

可以看出，KMP能夠有效減少配對次數。

實現

我們記模式串 為 p，文字串 為 s 。

從上面的模擬中，我們發現需要預處理出一個陣列（記之為next[]），它儲存模式串中字首對應的字首函式\(\pi()\)，如對於字串ABCABC ：

\(\pi(0)=0\) （因為什麼都沒有）
\(\pi(1)=0\) （A甚至沒有真字首和真字尾）
\(\pi(2)=0\) （AB）
\(\pi(3)=0\) （ABC）
\(\pi(4)=1\) （ABCA）
\(\pi(5)=2\) （ABCAB）
\(\pi(6)=3\) （ABCABC）

同樣地，我們發現如果用暴力樸素的想法來統計複雜度是 \(O(N^2)\) 不好，於是採用類似於上面的方法，只不過模式串配對的物件是自己罷了。

可以結合程式碼理解，並注意舉例，嘗試在紙上模擬這個過程。

for(int i=2,j=0;i<=lenp;i++){
        while(j && p[j+1]!=p[i]) j=next_[j]; // 如果j指向元素的下一個元素會和當前配對位置失配，則j跳回去
        if(p[j+1]==p[i]) j++; //如果能夠配對上，j++
        next_[i]=j; //記錄當前位置的字首函式π
}

完整程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+5;
char p[N],s[N];
int next_[N];

int main(){
    cin>>s+1>>p+1;

    int lenp=strlen(p+1),lens=strlen(s+1);
    // build next array
    for(int i=2,j=0;i<=lenp;i++){
        while(j && p[j+1]!=p[i]) j=next_[j]; // 如果j指向元素的下一個元素會和當前配對位置失配，則j跳回去
        if(p[j+1]==p[i]) j++; //如果能夠配對上，j++
        next_[i]=j; //記錄當前位置的字首函式π
    }

    for(int i=1,j=0;i<=lens;i++){
        while(j && p[j+1]!=s[i]) j=next_[j];
        if(p[j+1]==s[i]) j++;

        // if match
        if(j==lenp){
            j=next_[j];
            cout<<i-lenp+1<<endl;
        }
    }

    for(int i=1;i<=lenp;i++) cout<<next_[i]<<' ';
    cout<<endl;

    return 0;
}

複雜度

\(O(N+M)\)

例題

https://www.acwing.com/problem/content/1054/

分析

結合了狀態機，KMP的一道DP題。
遞推方程：f[i][u]+=f[i-1][j] 其中j表示一個狀態，u表示由j轉移而來的狀態，i表示填到文字串的第幾位了。

程式碼 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=55, mod=1e9+7;

int nxt[N],f[N][N];

int n;
char p[N];

int main(){
    cin>>n>>p+1;
    
    int lenp=strlen(p+1);
    for(int j=0,i=2;i<=lenp;i++){
        while(j && p[j+1]!=p[i]) j=nxt[j];
        if(p[j+1]==p[i]) j++;
        nxt[i]=j;
    }
    
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<lenp;j++)
            for(char k='a';k<='z';k++){
                int u=j;
                while(u && p[u+1]!=k) u=nxt[u];
                if(p[u+1]==k) u++;
                
                if(u<lenp) f[i][u]=(f[i-1][j]+f[i][u])%mod;
            }
    
    int res=0;
    for(int i=0;i<lenp;i++) res=(f[n][i]+res)%mod;
    
    cout<<res<<endl;
    
    return 0;
}

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