KMP字串匹配演算法

popcoount發表於2023-10-01
KMP字串匹配演算法

挑戰最通俗的KMP演算法講解

什麼是 \(KMP\)

KMP是一種用於模式串匹配問題的演算法。
給出一個文字串和模式串，查詢模式串在文字串中的(出現次數、出現位置等等)的問題稱為“模式串匹配問題”。
KMP演算法的本質是：針對模式串構建一個特定的陣列，用於在匹配失敗時減少後續匹配過程中的無用比較，可以將時間複雜度最佳化到線性。

\(next\) 陣列

設文字串為 \(s\)，長度為 \(n\)；模式串為 \(t\)，長度為 \(m\)。
預處理一個 \(next\) 陣列，對於 \(next[i]\)，它表示在 \(t\) 的前 \(i\) 個字母中，最長公共前字尾的長度。
什麼意思呢？我們舉個例子：
比如 \(t\) 是 \(ababaca\)，則對應的 \(next\) 陣列如下所示：

\(i\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)
\(next[i]\) \(0\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(0\) \(1\)

\(next[1]\)：字首：{空}；字尾：{空}。\(next\)：\(0\)
\(next[2]\)：字首：{\(a\)}；字尾：{\(b\)}。\(next\)：\(0\)
\(next[3]\)：字首：{\(\color{red}a\), \(ab\)}；字尾：{\(\color{red}a\), \(ba\)}。\(next\)：\(1\)
\(next[4]\)：字首：{\(a\), \(\color{red}ab\), \(aba\)}；字尾：{\(b\), \(\color{red}ab\), \(bab\)}。\(next\)：\(2\)
\(next[5]\)：字首：{\(a\), \(ab\), \(\color{red}aba\), \(abab\)}；字尾：{\(a\), \(ba\), \(\color{red}aba\), \(baba\)}。\(next\)：\(3\)
\(next[6]\)：字首：{\(a\), \(ab\), \(aba\), \(abab\), \(ababa\)}；字尾：{\(c\), \(ac\), \(bac\), \(abac\), \(babac\)}。\(next\)：\(0\)
\(next[7]\)：字首：{\(\color{red}a\), \(ab\), \(aba\), \(abab\), \(ababac\)}；字尾：{\(\color{red}a\), \(ca\), \(aca\), \(baca\), \(abaca\), \(babaca\)}。\(next\)：\(1\)

如何進行匹配？

這裡我們先假設我們已經求出了 \(next\) 陣列（馬上講怎麼求），我們來看看怎麼進行匹配。
因為“next”這個詞有可能被判斷為關鍵字，所以接下來我們用“ne”來表示。
首先我們建立兩個指標，分別為文字串的和模式串的。

int i = 0, j = 0;

然後，當文字串的指標還沒有到達終點時，我們就接著匹配。

while (i < s.size()) {
    ...
}

如果當前的字母匹配，那就把兩個指標都往後移一個字元。

if (s[i] == t[j]) i++, j++;

如果不匹配，那就把 \(j\) 挪動 \(next[j - 1]\) 格。

else if (j > 0) j = ne[j - 1];

如果還是不行，說明這是第一格就不匹配，把 \(i\) 往後挪。

else i++;

如果 \(j\) 到了終點，說明匹配成功。返回模式串匹配的起始座標即可。

if (j == t.size()) return i - j;

\(next\) 陣列的原理 & 如何求 \(next\) 陣列？

剛才我們說了：如果不匹配，那就把 \(j\) 挪動 \(next[j - 1]\) 格。為什麼可以這麼做呢？
image

（這裡用了一個b站大佬的圖）
如上圖，可以發現，我們成功匹配的畫黃線的兩個 \(AB\)，和前面跳過的畫藍線的兩個 \(AB\) 是完全一樣的。所以我們可以直接跳過後兩個 \(AB\) 接著匹配；這也就證實了 \(next\) 陣列的本質：最長公共前字尾的長度（注意：最長公共前字尾不可以是子串本身，否則我們的移動就沒有意義了）。

我們可以用遞推的方式來求解 \(next\) 陣列，比如我們現在已經知道當前的公共前字尾了，接下來分兩種情況討論：

  1. 下一個字元還是相同，直接構成了一個更長的公共前字尾；
  2. 下一個字元不相同了，那我們就再次察看左邊的字首，與右面的字尾再次進行檢查下一個字元是否相同，就可以得到下一個字元的 \(next\) 陣列了！

那麼這樣我們的程式碼實現就很簡單了：

void buildnext(string t) {
	memset(ne, 0, sizeof ne);
	int len = 0; // 當前公共前字尾的長度
	int i = 1;
	while (i < t.size()) { // 依次生成每個next數值
		if (t[len] == t[i]) { // 下一個字元依然相同
			len++; // 長度+1
			ne[i] = len;
			i++;
		} else {
			if (len == 0) {
				ne[i] = 0; // 不存在直接為0
				i++;
			} else len = ne[len - 1]; // 是否存在更短的前字尾
		}
	}
}

最後放一下題和程式碼:

image

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ne[100010];
void buildnext(string t) {
	memset(ne, 0, sizeof ne);
	int len = 0;
	int i = 1;
	while (i < t.size()) {
		if (t[len] == t[i]) {
			len++;
			ne[i] = len;
			i++;
		} else {
			if (len == 0) {
				ne[i] = 0;
				i++;
			} else len = ne[len - 1];
		}
	}
}
void kmp(string s, string t) {
	buildnext(t);
	int i = 0, j = 0;
	while (i < s.size()) {
		if (s[i] == t[j]) i++, j++;
		else if (j > 0) j = ne[j - 1];
		else i++;
		if (j == t.size()) cout << i - j << ' ';
	}
}
int main() {
	int n, m;
	string s, t;
	cin >> n >> t >> m >> s;
	kmp(s, t);
	return 0;
}

碼字不易qwq
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