字串匹配問題——KMP演算法

夕陽下江堤上的男孩發表於2018-03-23
字串匹配KMP演算法

字串匹配問題：給定兩個字串S（主串）和T（模式串），假設n=strlen(S) > strlen(T)=m，判斷主串S中是否包含模式T，且返回T在S中所在的起始位置。這裡為簡單起見，若S包含T，則只返回第一個T所在的位置。

一般的蠻力法如下：


蠻力法在遇到不匹配時，j每次都要回到T的起點，從新開始匹配，這樣來看效率就比較低，蠻力法的時間複雜度是O（n*m）。

1、理論

思想：儘量利用已經部分匹配的結果資訊，儘量讓 i 不回溯，加快模式串T的滑動速度。
先舉個啟發性的例子，然後引出理論。例子：





結論：從例子中可以看出，每次匹配失敗，然後回溯再次從新匹配時（第2、4、5趟），判斷當前的S[i]和T[j]是否相等可通過上一趟S和T的匹配結果和T本身的結構資訊來得出結論。也就是說，在上一趟S和T匹配結果的基礎上，如果知道T本身的結構資訊，那麼第2、4、5趟的步驟其實是可以省略的，且i可以不用回溯（i不回溯待會兒再來直觀理解）。

1.1、模式串T中的資訊

抓住部分匹配時的兩個特徵：

如上圖所示，假設S[i]和T[j]不相等後，從T的第k個位置開始和S中的第i個位置比較，那麼：
（1）從圖的後半部分可得：
                                                                                （1）
（2）從圖的後前部分可得： 
                                                                                                （2）
所以，兩式聯立可得：
                                              （3）
所以，由上面的推理可知，只要提前知道模式串T本身的結構資訊，就可以由j計算出k，即下一回T的匹配起點。另外，（3）式可能存在多種不同長度的首尾相等的可能，那麼在這樣的情況下，肯定是k越大越好，這樣一方面可以減少再次匹配的字元數量；另一方面，T向右移動的位置相當S而言也是最慢的，這樣也不會錯過各種匹配的情況。比如：


令k = next[ j ]，則：

計算next[j]的方法：
由模式T的字首函式定義易知，next[1]=0，假設已經計算出next[1]，next[2]，…，next[j]，如何計算next[j＋1]呢？設k=next[j]，則已有：
                                                         （4）
此時，比較tk和tj，可能出現兩種情況：
（1）tk＝tj：說明t1 … tk-1 tk＝tj-k+1 … tj-1 tj，由字首函式定義，next[j+1]=k＋1；
（2）tk≠tj：此時要找出t1 … tj-1的字尾中第2大真字首，顯然，這個第2大的真字首就是next[next[j]]=next[k]。
再比較tnext[k]和tj，此時仍會出現兩種情況，當tnext[k]＝tj時，與情況（1）類似，next[j]=next[k]+1；當tnext[k]≠tj時，與情況（2）類似，再找t1 … tj-1的字尾中第3大真字首。重複執行上述步驟，直到找到t1 … tj-1的字尾中的最大真字首，或確定t1 … tj-1的字尾中不存在真字首，此時，next[j+1]=1。
求next陣列程式碼：
void getNext(char T[], int next[])
{
	next[1] = 0;        //從第一個位置開始
	int j = 1, k = 0;   //這裡比較巧妙，先不用管什麼意思，在相關的地方驗證一下，然後就會明白了
	while (j < T[0])
	{
		if ((k == 0) || (T[j] == T[k]))
		{
			j++;
			k++;
			next[j] = k;
		}
		else
			k = next[k];  //往前找
	}
}

2、KMP完整演算法

KMP中的核心就是求next陣列，之後就沒什麼關鍵的了。KMP的時間複雜度為O（n+m），當n>>m時，時間複雜度是O(n)。完整程式碼如下：
int calLen(char *p)     //計算字元陣列長度
{
	int count = 0;
	while (*(++p) != '\0')  //從第一個位置開始
	{
		count++;
	}
	return count;
}

void getNext(char T[], int next[])
{
	next[1] = 0;        //從第一個位置開始
	int j = 1, k = 0;   //這裡比較巧妙，先不用管什麼意思，在相關的地方驗證一下，然後就會明白了
	while (j < T[0])
	{
		if ((k == 0) || (T[j] == T[k]))
		{
			j++;
			k++;
			next[j] = k;
		}
		else
			k = next[k];  //往前找
	}
}

#include<iostream>
using namespace std;
#define STR_LEN 52
int main(int argc, char* argv[])
{
	int i = 1, j = 1;
	char S[STR_LEN], T[STR_LEN];
	int next[STR_LEN];
	cout << "輸入源字串：" << endl;
	cin >> S + 1;   //第0個位置用於儲存長度
	cout << "輸入目標字串：" << endl;
	cin >> T + 1;
	T[0] = calLen(T);
	S[0] = calLen(S);
	if (T[0] > S[0] || T[0] == 0 || S[0] == 0)
	{
		cout << "字串格式輸入錯誤！" << endl;
		system("pause");
		return 0;
	}

	getNext(T, next);

	while (S[i] && T[j])  //判斷字串是否結束
	{
		if (S[i] == T[j])
		{
			i++;
			j++;
		}
		else   //將T向右滑動
		{
			j = next[j];  //將計算出來的k賦值給j
			if (j == 0)   //如果j==0，表明剛剛在j==1處（即一開始）兩個字串就不相等，那麼S中的i要往右移動一位
			{             
				i++;
				j++;
			}
		}
	}
	if (T[j] == '\0')
		cout << "找到目標子串，從S中的第" << i - T[0] << "個位置開始！" << endl;
	else
		cout << "沒有匹配的目標子串！" << endl;

	system("pause");
	return 0;
}

參考文獻：

1、演算法設計與分析-王紅梅


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