神奇的字串匹配：擴充套件KMP演算法

RioTian發表於2020-10-05
字串匹配套件KMP演算法

引言

一個算是冷門的演算法（在競賽上），不過其演算法思想值得深究。

前置知識

  1. kmp的演算法思想，具體可以參考 → Click here
  2. trie樹（字典樹）。

正文

問題定義：給定兩個字串 S 和 T（長度分別為 n 和 m），下標從 0 開始，定義 extend[i] 等於 S[i]...S[n-1] 與 T 的最長相同字首的長度，求出所有的 extend[i]。舉個例子，看下錶：

i 0 1 2 3 4 5 6 7
S a a a a a b b b
T a a a a a c
extend[i] 5 4 3 2 1 0 0 0

為什麼說這是 KMP 演算法的擴充套件呢？顯然，如果在 S 的若干個位置 i 有 extend[i] 等於 m，則可知在 S 中找到了匹配串 T，並且匹配的首位置是 i，這就是標準的KMP問題。但是，擴充套件 KMP 演算法可以找到 S 中所有 T 的匹配。接下來具體介紹下這個演算法。

演算法流程

（1）

如上圖，假設當前遍歷到 S 串位置 i，即 extend[0]...extend[i - 1]這 i 個位置的值已經計算得到。設定兩個變數，a 和 p。p 代表以 a 為起始位置的字元匹配成功的最右邊界，也就是 "p = 最後一個匹配成功位置 + 1"。相較於字串 T 得出，S[a...p) 等於 T[0...p-a)。

再定義一個輔助陣列 int next[]，其中 next[i] 含義為：T[i]...T[m - 1] 與 T 的最長相同字首長度，m 為串 T 的長度。舉個例子：

i 0 1 2 3 4 5
T a a a a a c
next[i] 6 4 3 2 1 0

（2）

S[i] 對應 T[i - a]，如果 i + next[i - a] < p，如上圖，三個橢圓長度相同，根據 next 陣列的定義，此時 extend[i] = next[i - a]。

（3）

如果 i + next[i - a] == p 呢？如上圖，三個橢圓都是完全相同的，S[p] != T[p - a] 且 T[p - i] != T[p - a]，但 S[p] 有可能等於 T[p - i]，所以我們可以直接從 S[p] 與 T[p - i] 開始往後匹配，加快了速度。

（4）

如果 i + next[i - a] > p 呢？那說明 S[i...p) 與 T[i-a...p-a) 相同，注意到 S[p] != T[p - a] 且 T[p - i] == T[p - a]，也就是說 S[p] != T[p - i]，所以就沒有繼續往下判斷的必要了，我們可以直接將 extend[i] 賦值為 p - i。

（5）最後，就是求解 next 陣列。我們再來看下 next[i] 與 extend[i] 的定義：

  • next[i]： T[i]...T[m - 1] 與 T 的最長相同字首長度；
  • extend[i]： S[i]...S[n - 1] 與 T 的最長相同字首長度。

恍然大悟，求解 next[i] 的過程不就是 T 自己和自己的一個匹配過程嘛，下面直接看程式碼。

程式碼

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

//求解 T 中 next[]，註釋參考 GetExtend()
void GetNext(string& T, int& m, int next[]) {
    int a = 0, p = 0;
    next[0] = m;
    
    for (int i = 1; i < m; ++i)
        if (i >= p || i + next[i - a] >= p) {
            if (i >= p)
                p = i;

            while (p < m && T[p] == T[p - i])
                p++;

            next[i] = p - i;
            a = i;
        }
        else
            next[i] = next[i - a];
}

// 求解 extend[]
void GetExtend(string& S, int& n, string& T, int& m, int extend[], int next[]) {
    int a = 0, p = 0;
    GetNext(T, m, next);

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        // i >= p 的作用：舉個典型例子，S 和 T 無一字元相同
        if (i >= p || i + next[i - a] >= p) {
            if (i >= p)
                p = i;

            while (p < n && p - i < m && S[p] == T[p - i])
                p++;

            extend[i] = p - i;
            a = i;
        }
        else
            extend[i] = next[i - a];
    }
}

int main() {
    int next[100], extend[100];
    string S, T;
    int n, m;

    while (cin >> S >> T) {
        int n = S.length();
        int m = T.length();
        GetExtend(S, n, T, m, extend, next);

        // 列印 next
        cout << "next:   ";
        for (int i = 0; i < m; ++i)
            cout << next[i] << " ";

        // 列印 extend
        cout << "\nextend: ";
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cout << extend[i] << " ";

        cout << endl << endl;
    }
    return 0;
}

資料測試如下：

aaaaabbb
aaaaac
next:   6 4 3 2 1 0
extend: 5 4 3 2 1 0 0 0

abc
def
next:   3 0 0
extend: 0 0 0

參考

OI Wiki：https://oi-wiki.org/string/z-func/

擴充kmp演算法總結：https://blog.csdn.net/dyx404514/article/details/41831947

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