[譯] Swift 演算法學院 - KMP 字串搜尋演算法

KeithSummer發表於2018-04-02
Swift演算法KMP字串

本篇是來自 Swift 演算法學院的翻譯的系列文章，Swift 演算法學院 致力於使用 Swift 實現各種演算法，對想學習演算法或者複習演算法的同學非常有幫助，講解思路非常清楚，每一篇都有詳細的例子解釋。 更多翻譯的文章還可以檢視這裡。

Knuth-Morris-Pratt 字串搜尋演算法

目標：用 Swift 寫一個線性的字串搜尋演算法，返回模式串匹配到所有索引值。

換句話說就是，實現一個 String 的擴充套件方法 indexesOf(Pattern:String) ，函式返回 [Int] 表示模式串搜尋到的所有索引值，如果沒有匹配到，返回 nil 。

舉例如下：

let dna = "ACCCGGTTTTAAAGAACCACCATAAGATATAGACAGATATAGGACAGATATAGAGACAAAACCCCATACCCCAATATTTTTTTGGGGAGAAAAACACCACAGATAGATACACAGACTACACGAGATACGACATACAGCAGCATAACGACAACAGCAGATAGACGATCATAACAGCAATCAGACCGAGCGCAGCAGCTTTTAAGCACCAGCCCCACAAAAAACGACAATFATCATCATATACAGACGACGACACGACATATCACACGACAGCATA"
dna.indexesOf(ptnr: "CATA")   // Output: [20, 64, 130, 140, 166, 234, 255, 270]

let concert = "?????????????"
concert.indexesOf(ptnr: "??")   // Output: [6]
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Knuth-Morris-Pratt 演算法被公認是字串匹配查詢的最好演算法之一。雖然 Boyer-Moore 簡單，也同樣只需要線性的時間複雜度。

這個演算法後的思想和原來的 暴力字串搜尋演算法 沒什麼不同，KMP 和它同樣將字串從左到右依次比較，但是與之不同的是不會在字串不匹配時移動一個字元，而是用了更聰明的方式移動模式串。實際上這個演算法對模式串特徵做了預處理，使得它獲得足夠的資訊能跳過不必要的比較，所以可以移動更多的距離。

預處理後得到一個整型陣列（程式碼中命名為 suffixPrefix），陣列每個元素 suffixPrefix[i] 記錄的是 P[0...i] （ P 是模式串 ）最長的的字尾等於其字首的長度。換句話說，suffixPrefix[i] 是 P 以 i 位置結束的最長子字串就是 P 的一個字首。（譯者注：字首指除了最後一個字元以外，一個字串的全部頭部組合；字尾指除了第一個字元以外，一個字串的全部尾部組合。字首和字尾的最長的共有元素的長度就是 suffixPrefix 要存的值）。比如 P = "abadfryaabsabadffg"，則 suffixPrefix[4] = 0，subffixPrefix[9] = 2，subffixPrefix[14] = 4。（譯者注：以 suffixPrefix[9] 為例，計運算元字串 abadfryaab , 其字首集合為 a, ab,aba,abad,abadf,abadfr,abadfry,abadfrya,abadfryaa 和字尾集合為 b,ab,aab,yaab,ryaab,fryaab,dfryaab,adfryaab,badfryaab，相同的有 ab，因為匹配的只有一個，也就是最長值了，其長度為 2 ，因此 subffixPrefix[9] = 2。）計算這個並不複雜，可以使用如下的程式碼實現：

for patternIndex in (1 ..< patternLength).reversed() {
    textIndex = patternIndex + zeta![patternIndex] - 1
    suffixPrefix[textIndex] = zeta![patternIndex]
}
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簡單計算一下以索引值結束，以 i 開始的子字串與 P 字首是否匹配。把（匹配上的最長的）字串長度賦值給suffixPrefix 陣列的 Index 值 。

完成 suffixPrefix 偏移陣列後，演算法第一步就是嘗試與模式串各個字元比較，如果比較成功，繼續比較下一個，如果全部匹配，則直接移向下一段文字，否則需要將模式串右移，右移的位數根據 suffixPrefix ，它能夠保證字首 P[0…suffixPrefix[i]] 能夠與對應的字元（字尾）相匹配（譯者注：實際就是把字尾的位置替換為相同的字首的位置）。通過這種方式可以大大減少匹配的次數，可以加快很多。

如下為 KMP 演算法實現：

extension String {

    func indexesOf(ptnr: String) -> [Int]? {

        let text = Array(self.characters)
        let pattern = Array(ptnr.characters)

        let textLength: Int = text.count
        let patternLength: Int = pattern.count

        guard patternLength > 0 else {
            return nil
        }

        var suffixPrefix: [Int] = [Int](repeating: 0, count: patternLength)
        var textIndex: Int = 0
        var patternIndex: Int = 0
        var indexes: [Int] = [Int]()

        /* 預處理程式碼： 通過 Z-Algorithm 演算法計算移動用的表*/
        let zeta = ZetaAlgorithm(ptnr: ptnr)

        for patternIndex in (1 ..< patternLength).reversed() {
            textIndex = patternIndex + zeta![patternIndex] - 1
            suffixPrefix[textIndex] = zeta![patternIndex]
        }

        /* 查詢程式碼：查詢模式串匹配值 */
        textIndex = 0
        patternIndex = 0

        while textIndex + (patternLength - patternIndex - 1) < textLength {

            while patternIndex < patternLength && text[textIndex] == pattern[patternIndex] {
                textIndex = textIndex + 1
                patternIndex = patternIndex + 1
            }

            if patternIndex == patternLength {
                indexes.append(textIndex - patternIndex)
            }

            if patternIndex == 0 {
                textIndex = textIndex + 1
            } else {
                patternIndex = suffixPrefix[patternIndex - 1]
            }
        }

        guard !indexes.isEmpty else {
            return nil
        }
        return indexes
    }
}
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下面讓我們解釋一下上面的程式碼。如果 P = "ACTGACTA"，suffixPrefix 的結果為 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 1] ，文字為 "GCACTGACTGACTGACTAG"。演算法開始的比較過程如下，先比較 T[0] 和 P[0]。

                          1       
                0123456789012345678
text:           GCACTGACTGACTGACTAG
textIndex:      ^
pattern:        ACTGACTA
patternIndex:   ^
                x
suffixPrefix:   00000031
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比較後發現不匹配，下一步比較 T[1] 和 P[0] ，不幸的是要檢查模式串不一致，因此需要繼續向右移動模式串，移動多少需要查詢 suffixPrefix[1 - 1] 。如果值是 0 ，需要再比較 T[1] 和 P[0] 。但還是不匹配，所以我們繼續比較 T[2] 和 P[0]。

                          1      
                0123456789012345678
text:           GCACTGACTGACTGACTAG
textIndex:        ^
pattern:          ACTGACTA
patternIndex:     ^
suffixPrefix:     00000031
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這次有相同的字元了，但也是至相同到第 8 位置，不幸的是匹配的長度與模式串長度並不相同，因此不能認為是相同的，但還是有辦法的，我們可以用 suffixPrefix 陣列存的值，匹配的長度是 7， 檢視 suffixPrefix[7-1] 的值是 3。這個資訊告訴我們 P 的字首與 T[0...8] 的子字串是有匹配。suffixPrefix 陣列保證我們模式串有兩個子字串是與之匹配的，因此不用再進行比較，我們可以直接大幅向右移動模式串！

從 T[9] 和 P[3] 重新比較。

                          1       
                0123456789012345678
text:           GCACTGACTGACTGACTAG
textIndex:               ^
pattern:              ACTGACTA
patternIndex:            ^
suffixPrefix:         00000031
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繼續比較直到第 13 位置，發現 G 和 A 不匹配。像上面那樣，繼續根據 suffixPrefix 陣列進行右移。

                          1       
                0123456789012345678
text:           GCACTGACTGACTGACTAG
textIndex:                   ^
pattern:                  ACTGACTA
patternIndex:                ^
suffixPrefix:             00000031
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再次進行比較，這次我們終於找到一個，從位置 17 - 7 = 10。

                          1       
                0123456789012345678
text:           GCACTGACTGACTGACTAG
textIndex:                       ^
pattern:                  ACTGACTA
patternIndex:                    ^
suffixPrefix:             00000031
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演算法再繼續比較 T[18] 和 P[1]，（因為 suffixPrefix[8 - 1] = 1），但是並不相同，在下次迴圈後也就停止計算了。

預處理階段只涉及到模式串，執行 Z-Algorithm 演算法是線性的，只需要 o(n)，這裡 n 是 P 的模式串長度。完成後，在查詢階段複雜度也不會超出文字 T 長度（設為 m ）。可以證明查詢階段的比較次數邊界為 2 * m。所以 KMP 演算法複雜度為 O(n + m)。

注意：如果你要執行 KnuthMorrisPratt.swift 需要拷貝 Z-Algorithm 資料夾下的 ZAlgorithm.swift。 KnuthMorrisPratt.playground 已經包含 Zeta 函式。

宣告：這段程式碼是基於 1997年 CUP Dan Gusfield 的《Algorithm on String, Trees and Sequences: Computer Science and Computational Biology》 手冊。

作者 Matteo Dunnhofer，譯者 KeithMorning

譯者注：由於本文原文在分析 KMP 演算法上面明顯不夠用(雖然加了好多註釋，?)，關鍵的 Next 陣列演算法又沒說明白，想繼續挖坑的同學，推薦以下三篇文章，絕對夠用。

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