A*搜尋演算法概述

編者按：本文作者奇舞團前端開發工程師魏川凱。

A*搜尋演算法（A-star search algorithm）是一種常見且應用廣泛的圖搜尋和尋徑演算法。A*搜尋演算法是通過使用啟發式函式來指導尋路，從而高效的保證找到一條最優路徑。A*搜尋演算法最初的設計是用來解決最短路徑問題。但是，從理論來說A*可以解決大多數的成本代數問題。

A*搜尋演算法於1968年，由史丹佛研究院的Peter Hart，Nils Nilsson以及Bertram Raphael首次發表。

原理

A*搜尋演算法綜合了最佳優先搜尋演算法（Best-first search）和Dijkstra演算法的優點，通過一個成本估算函式來指導路徑的搜尋過程：$$ f(n) = g(n) + h(n) $$ 其中：

• $n$：任意一個頂點

• $g(n)$：表示起點到任意頂點$n$的實際成本

• $h(n)$：是一種啟發式函式，表示從任意頂點$n$到目標點的估算成本

在演算法的每次迭代中，會從一個優先佇列中取出$f(n)$值最小（估算成本最低）的節點作為下次待遍歷的節點。這個優先佇列通常稱為open set。然後相應地更新其領域節點的$f(n)$和$g(n)$值，並將這些領域節點新增到優先佇列中。最後把遍歷過的節點放到一個集合中，稱為close set。直到目標節點的$f(n)$值小於佇列中的任何節點的$f(n)$值為止（或者說直到佇列為空為止）。因為目標點的啟發式函式$h(n)$值為0，所以說目標點的$f(n)$值就是最優路徑的實際成本。

下面為A*搜尋演算法的主流程程式碼：

// heuristicFunction，啟發式函式
function aStar(start, goal, heuristicFunction) {
  // 帶估算的節點集合，為一個優先佇列，每次取f(n)值最小的節點
  const openSet = new PriorityQueue()
  openSet.add(start) // 初始只有起點
  const closeSet = [] // 已被估算過的節點集合
  const gScore = { [start]: 0 } // g(n)值
  const hScore = { [start]: heuristicFunction(start, goal) } // h(n)值
  const fScore = { [start]: hScore[start] } // f(n)值
  const cameFrom = {} // 記錄當前節點的上一個節點
  while(!openSet.isEmpty()) {
    const current = openSet.pollFirst()
    if(current === goal)
      return reconstructPath(cameFrom, goal) // 當前節點為目標點，返回最佳路徑
    close_set.add(current)
    // neighborNodes，取出current節點的鄰域節點
    for(let neighbor of neighborNodes(current)) {
      if(close_set.includes(neighbor))
        continue
      // 從起點到neighor的距離
      const tentativeGScore = gScore[current] + distance(neighbor, current)
      if(!openSet.includes(neighbor) || tentativeGScore < gScore[neighbor]) {
        // 記錄neighbor節點的前一個節點
        cameFrom[neighbor] = current
        gScore[y] = tentativeGScore
        hScore[y] = heuristicFunction(neighbor, goal)
        fScore[y] = gScore[neighbor] + hScore[neighbor]
        openSet.add(neighbor)
      }
    }
  }
}
function reconstructPath(cameFrom, current) {
    const bestPath = [current]
    while(cameFrom[current]) {
      current = cameFrom[current]
      bestPath.unshift(current)
    }
    return bestPath
}

啟發式函式

啟發式函式作為A*搜尋演算法的核心，對演算法的行為有著重大的影響，具體有以下幾種情況：

• 當啟發式函式$h(n)$始終為0時，則將由從起點到任意頂點n的距離$g(n)$決定，此時A*演算法將等效於Dijkstra演算法。此時，可以考慮初始化一個值非常大的全域性計數器C，每次處理一個節點時，將C分配給它所有領域節點。每次分配後，再將計數器C減一。節點被發現的越早，其$h(x)$值就越高。從而實現深度優先遍歷。

• 當$h(n)$始終小於等於頂點n到目標點的實際成本，則A*演算法一定可以求出最優解。但是當$h(n)$的值越小，演算法需要計算的節點越多，演算法效率越低。

• 當$h(n)$完全等於頂點n到目標點的實際成本，則A*演算法將以較快的速度找到最優解。可惜的是，並非所有場景下都能做到這一點。因為在沒有達到目標點之前，我們很難確切算出距離目標點還有多遠。

• 當$h(n)$大於頂點n到目標點的實際成本，則A*不能保證找到一條最短路徑，但它執行得更快。

• 當從起點到任意頂點n的實際成本$g(n)$等於0，或者$h(n)$值遠遠大於$g(n)$時，則只有h(n)起作用，此時演算法演變成最佳優先搜尋演算法，速度最快，但可能得不出最優解。

可以看出，通過調節$h(n)$可以控制演算法的精度和速度。一些情況下，我們未必要找到最佳路徑，而是要高效的找出差不多好的路徑，所以需要權衡，這個我們後面在講。

二維網格地圖中的啟發式函式

在二維網格地圖中，有如下幾種常見的啟發式函式：

• 如果允許朝四個方向移動，即上下左右，則可以使用曼哈頓距離（$L_1\,norm$）

• 如果允許朝八個方向移動，即增加了對角線方向，則可以使用切比雪夫距離（$L_\infty\,norm$）

• 如果允許朝任何方向移動，則可以使用歐幾里得距離（$L_2\,norm$）

曼哈頓距離

曼哈頓距離（Manhattan distance）是指兩點所形成的線段對座標軸產生的投影的長度總和。在向量空間中又稱為L1範數。在直角座標系下，兩點之間的曼哈頓距離為：$$ d(x, y) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| $$

因此曼哈頓距離的啟發式函式為：$$ h(n) = D \times (|n.x - goal.x| + |n.y - goal.y|) $$ 其中D是節點移動的單位成本，一般是一個常數。

切比雪夫距離

切比雪夫距離（Chebyshev distance）是指二個點之間的距離定義為其各座標數值差的最大值。在向量空間中又稱為L∞範數。在直角座標系下，兩點之間的切比雪夫距離為：$$ d(x, y) = max(|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|) $$

因此切比雪夫距離的啟發式函式為：$$ h(n) = D \times max(|n.x - goal.x|, |n.y - goal.y|) $$ 上面的函式前提是直線和對角線的移動成本都是D，如果對角線的移動成本不是D，則上面的函式是不準確的，那就需要一個更準確的函式：$$ h(n) = D \times (|n.x - goal.x| + |n.y - goal.y|) + \sqrt{2} D min(|n.x - goal.x|, |n.y - goal.y|) $$

歐幾里得距離

歐幾里得距離（Euclidean distance）是指兩點之間的直線距離。在向量空間中又稱為L2範數。在直角座標系下，兩點之間的歐幾里得距離為：$$ d(x,y)=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2} $$

因此歐幾里得距離的啟發式函式為：$$ h(n) = D \times \sqrt{(n.x - goal.x)^2+(n.y - goal.y)^2} $$

鬆弛

前面的章節我們提到，通過調節$h(n)$可以控制演算法的速度和精度，一些情況下，我們可以犧牲最優性，來加快搜尋速度。這時候需要做一些鬆弛操作，以便我們求得相較於最優解(1+ε)倍的次優解。

• 靜態加權。假設$h(n)$是一個啟發式函式，我們可以用$h_w(n = ε \times h(n), ε > 1)$作為加權後的啟發式函式，由於擴充套件了較少的節點，因此速度加快，找到的路徑的誤差最多是最小路徑的ε倍。

• 動態加權。通過動態改變權重大小，從而控制搜尋的速度，可以使用如下的啟發式函式：$$ f(n)=g(n)+(1+εω(n))h(n) $$ 其中

• w(n)是計算權重的函式，當前搜尋深度較小時，會獲得較大的權重，加快搜尋速度：$$ ω(n) = \begin{cases} 1 - \frac{d(n)}{N} & d(n) \leq N \ 0 & otherwise \end{cases} $$

• $d(n)$是搜尋深度，$N$是最終路徑的預期長度，ε是允許的誤差範圍。

• 通過偏好離目標點最近的節點來加快深度遍歷，以提高速度。使用如下的啟發式函式：

  $$  f\alpha(n)=(1+w\alpha(n))f(n) $$

  其中

• wα(n)是計算權重的函式

  $$  w_\alpha(n)=\begin{cases} \lambda & g(\pi(n)) \leq g(\tilde{n}) \ \Lambda & otherwise \end{cases} $$

• λ和Λ是$\lambda \leq \Lambda$的常量，$π(n)$是n的父節點，而ñ是要擴充套件的節點。

參考連線

1. https://en.wikipedia.org/wiki/A*_search_algorithm

2. http://theory.stanford.edu/~amitp/GameProgramming/AStarComparison.html

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