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前言

啟發式搜尋(Heuristically Search)又稱為有資訊搜尋(Informed Search)，它是利用問題擁有的啟發資訊來引導搜尋，達到減少搜尋範圍、降低問題複雜度的目的，這種利用啟發資訊的搜尋過程稱為啟發式搜尋。簡單來說，就是已知起點和終點位置，尋找最佳路徑。

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一、啟發式搜尋（heuristic search)

方法（Dijkstra search，Greedy Search，A* ）

代價一致搜尋 (Uniform Cost Search or Dijkstra search)
貪心搜尋 (Greedy Search)
A星搜尋 (A* Search)

首先， 使用評價函式 f(x) 來對上述的節點選擇順序進行排序
下面先定義兩個函式

g(x) 為從根節點到x節點的代價總和

h(x) 為從x節點到目標節點的估計代價總和

這類應用演算法有

代價一致搜尋 (Uniform Cost Search or Dijkstra search) f(x) = g(x)

貪心搜尋 (Greedy Search) f(x) = h(x)

A星搜尋 (A* Search) f(x) = g(x) + h(x)

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性質（Admissible & Consistent & dominate）

Admissible heuristic

admissibility是啟發式搜尋的一個性質，如果滿足這個性質，那麼，啟發函式一定能得到最佳solution。

A*搜尋能找到最優解的充分條件:

1. 搜尋樹上存在著從起始點到目標點的最優路徑
2. 問題域是有限的
3. 所有結點的子結點的成本>0
4. h(n) =< h*(n) (h*(n)為從節點n到目標點的實際成本)

1 2 3易滿足，第4條中這樣的啟發函式被稱為Admissible heuristic，也就是說在A*中我們對目標的估計必須小於或等於其實際值,不然可能會出現找不到最優路徑或者根本找不到路徑的情況

Consistent heuristic

N是開始節點，綠色的是目標節點，h(N)則是從N到目標節點的啟發函式，N’為任意不同於N的節點
A star with tree能找到最優解的充分條件:

1. 搜尋樹上存在著從起始點到目標點的最優路徑
2. 問題域是有限的
3. 所有結點的子結點的成本>0
4. h(N’) + c(N, N’) < h(N)
   這樣的啟發函式被稱為Consistent heuristic，只有滿足了這個才能保證A*演算法在圖搜尋中能找到最優解。

一個啟發函式是consistent，它也是admissible。反之，不可。

dominate

Dominance（用於表現不同啟發函式的關係）
two admissible heuristics ha, hb：如果對於所有n, ha(n) >hb(n),那麼，我們可以說 ha dominates hb，對於這個search問題，我們最好使用ha作為啟發函式。

總結

A star演算法的特點(考慮g(x)+h(x)，注意樹搜尋滿足Admissible heuristic，圖搜尋滿足Consistent heuristic時)

1. 完備性：肯定能找到最優解
2. 最優性：找到的解花費最小
3. 快：擴充套件更少的節點

UCS(代價一致搜尋，只考慮g(x))

1. 完備性：肯定能找到最優解
2. 最優性：找到的解花費最小
3. 比A*慢一些
   廣度優先搜尋是代價一致搜尋的特例

貪婪搜尋(啟發式搜尋，但只考慮h(x))

1. 不完備性：不保證能找到最優解
   深度優先搜尋是貪婪搜尋的特例（令h(n)===0，A*搜尋退化為寬度優先搜尋(BFS)，不估計成本，肯定能找到最優解）