美國人的幾何

We call this chapter "Geometry for Americans" instead of "Geometry for Dummies" so as not to offend. The sad truth is that most mathematically inclined Americans know very little geometry, in contrast to their luckier peers in Eastern Europe and Asia. But it is never too late to learn. Geometry is a particularly fun topic to study, because you are compelled to draw lots and lots of pictures.
-- Paul Zeitz, Chapter 8: Geometry for Americans, The Art and Craft of Problem Solving, 2nd Edition

為了避免冒犯他人，我們把這章稱為“美國人的幾何”而非“笨蛋的幾何”。不容樂觀的事實是：如果拿美國人與東歐和亞洲的同齡人相比，他們是不幸的，因為他們幾乎不懂幾何。但是活到老學到老，在任何時候，您都可以選擇重新開始學習幾何。而且，儘管您不得不畫很多圖，可研究幾何就是格外有趣。
－－（美）保羅·蔡茨《怎樣解題：數學競賽攻關寶典（第2版）》第8章：美國人的幾何

解決數學難題，其中的樂趣是無窮的。國際數學奧林匹克競賽，向來是數學天才的競技場，激勵著眾多的青少年勇攀高峰。《怎樣解題：數學競賽攻關寶典（第2版）》是學習解決問題技巧的極好的書。前4章總論解題的策略和戰術，接著3章是代數、組合數學、數論，第8章講述基礎幾何，最後一章微積分。一冊在手，盡享解題之美。作者在“第二版前言”中說：

增加了有關幾何的一章。這一章主要是為初學者提供幫助的，所以章名叫做“美國人的幾何”。我希望這樣做能夠使解題新手在解決幾何問題時，也能像對付離散數學那樣增添信心。

初等幾何蘊藏著許多瑰寶，顧森《思考的樂趣》第17章“幾何之美：三角形的心”有所論述。

現在讓我們來看看“美國人的幾何”。容易證明“三角形的三條中垂線交於一點（外接圓圓心）”（《怎樣解題》第8章題8.2.21，請嘗試自行證明）。想證明“三角形的三條高線共點”則困難得多，要應用“異想天開”的戰術。

例8.2.23 證明：對於任何三角形，三條高線共點。這個點稱為三角形的垂心。

解答 如何證明三條高線交於同一點呢？其他還有什麼線是共點的呢？中垂線幾乎能如我們所願，因為它們交於同一點，即外接圓圓心。然而，高線垂直於對邊。但一般情況下，它們並不平分對邊。那麼，存在什麼方法使它們平分某個物件嗎？是的！靈活的技巧就是：讓平分點在頂點上，而不在邊上。

在下面的圖中，由任意三角形ABC開始，然後過每個頂點作對邊的平行線。這三條平行線形成了一個更大的三角形，DEF，它包含ABC。

令m為三角形ABC過點B的高。當然，根據定義，m垂直於AC。但因為DE∥AC，則m也垂直於DE。

注意：ADBC是平行四邊形。因此有AC=BD。類似地，AC=BE。因此，點B是DE的中點。故m是DE的中垂線。

通過類似的推理可得：三角形ABC的另兩條高是EF和FD的中垂線。因此，這三條高線交於一點－－三角形DEF的外接圓圓心！

下面這道練習題也很有趣，靈光一閃可能就找到答案了（大家先自己想一想，明天貼上我的解答）：

題8.2.28 尺規作圖
(j) 給定一個圓和圓內兩點P, Q，作該圓的內接直角三角形，使得一條直角邊過P，另一條直角邊過Q。根據P, Q的位置，有可能無法作圖。

第3版即將到來（http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP003691.html）：

The Art and Craft of Problem Solving, 3rd Edition
Paul Zeitz
ISBN: 978-1-119-23990-1
380 pages
November 2016

最後，來一段書評：

Sometimes a piece of music or a painting or a film just leaves me speechless. This book is truly thrilling, certainly for young and beginning mathematicians but even for mature ones. Every new page I read is full of thought and insight and elegance. I wish I had had this extraordinary book when I was in high school -- I think it would have changed my life.
-- By Bob Pisani

猶如音樂一樣美妙，宛若油畫一般多彩，勝似電影一樣生動，拿在手中，如獲至寶，每一頁都充滿思想，富有前瞻性，分析詳細而解答優雅。真希望高中時就出版了這本特別的書，如果那樣的話，它肯定會改變我的一生。
－－亞馬遜讀者評論