計算幾何

這兩天在學習計算幾何，隨便說說自己的學習過程吧。

　　基本的叉積、點積和凸包等東西就不多說什麼了，網上一搜一大堆，切一些題目基本熟悉了就差不多了。

　　一些基本的題目可以自己搜尋，比如這個blog：http://blog.sina.com.cn/s/blog_49c5866c0100f3om.html

　　接下來，研究了半平面交，思想方法看07年朱澤園的國家隊論文，模板程式碼參考自我校大牛韜哥：

http://www.owent.net/2010/10/acm-%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%87%A0%E4%BD%95-%E4%B8%AA%E4%BA%BA%E6%A8%A1%E6%9D%BF.html

　　一些半平面交的題目：

　　POJ 3335 Rotating Scoreboard
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3335

　　POJ 3130 How I Mathematician Wonder What You Are!
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3130

　　POJ 1474 Video Surveillance
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1474
　　知識點：半平面交求多邊形的核，存在性判斷

　　POJ 1279 Art Gallery
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1279
　　半平面交求多邊形的核，求核的面積

　　POJ 3525 Most Distant Point from the Sea （推薦）
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3525
　　給出一個多邊形，求裡面的一個點，其距離離多邊形的邊界最遠，也就是多邊形中最大半徑圓。
　　解法：可以使用半平面交+二分法解。二分這個距離，邊向內逼近，直到達到精度。

　　POJ 3384 Feng Shui （推薦）
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3384
　　半平面交實際應用，用兩個圓覆蓋一個多邊形，問最多能覆蓋多邊形的面積。
　　解法：用半平面交將多邊形的每條邊一起向“內”推進R，得到新的多邊形，然後求多邊形的最遠兩點。

　　POJ 1755 Triathlon （推薦）
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1755
　　半平面交判斷不等式是否有解。注意不等式在轉化時正負號的選擇，這直接影響到半平面交的方向。

　　POJ 2540 Hotter Colder
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2540
　　半平面交求線性規劃可行區域的面積。

　　POJ 2451 Uyuw’s Concert
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2451
　　Zzy專為他那篇nlogn演算法解決半平面交問題的論文而出的題目。

 

　　(以上題目來自別人的blog，後面還有幾題是我自己找到的)

　　POJ 1271 Nice Milk

　　http://poj.org/problem?id=1271

　　黑書習題

 

　　UVA 11722 Joining with Friend

　　http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=117&page=show_problem&problem=2769

　　概率問題，這個規模用半平面交有點浪費，不過就當練習了

 

　　USACO 2010 MARCH GOLD StarCowraft

　　http://61.187.179.132:8080/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1829

 

　　

 

 

 

 

 

 

 

 

 

　　接下來稍微弄了一下座標旋轉的問題，具體可以參考武漢大牛的博文http://dumbear.com/blog/?p=143

　　座標旋轉題目切得不多

　　HDU 1700 Points on Cycle

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1700

　　比較基礎的一道題

 

　　POJ 3845 Fractal

　　http://poj.org/problem?id=3845

　　注意eps的取值

 

　　POJ 1133 Stars

　　http://poj.org/problem?id=1133

 

　　Harbin Online Contest 2010

　　http://acm.hrbeu.edu.cn/index.php?act=problem&id=1006&cid=16

　　三維座標旋轉。這個要有賬號才能提交，還有就是Sample Input 中第二個Sample的“275”改成“270”

 

　　HDU 3623 Covering Points (2010天津網路賽C題)

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3623 (航電沒有這題了)

　　http://acm.tju.edu.cn/toj/showp3740.html 

　　FZU 2002 Shade of Hallelujah Mountain (2010福州regional)

　　http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2002

　　HDU 4087 ALetter to Programmers (2011 北京現場賽)

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4087

　　三維旋轉矩陣 + 矩陣加速

 

 

 

　　然後是旋轉卡殼，一個很好的學習網站http://cgm.cs.mcgill.ca/~orm/rotcal.html（不過是英文的），後來找到一個大牛的blog裡有部分翻譯http://blog.csdn.net/ACMaker，綜合起來看了一下，收益良多啊。

　　一些旋轉卡殼的題目

　　POJ 2187 Beauty Contest
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2187
　　凸包求最遠點對。可以暴力列舉，也可以使用旋轉卡殼。

　　POJ 3608 Bridge Across Islands
　　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3608
　　兩個凸包的最近距離。

　　上面兩題可以參考blog：http://www.cppblog.com/staryjy/archive/2009/11/19/101412.html（上面程式碼很不錯）

　　POJ 2079 Triangle

　　http://poj.org/problem?id=2079

　　這題以為O(N^2)的複雜度會超時，結果就是O(N^2)複雜度

 

　　UVA 10173

　　http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&category=13&problem=1114&mosmsg=Submission+received+with+ID+8029560

　　給定點集S,求S的最小覆蓋矩形

 

　　

 

　　然後看了一些掃描線之類的東西。

　　推薦幾道比不錯的題目：

　　POJ 2932 Coneology

　　http://poj.org/problem?id=2932

 

　　HDU 3124 Moonmist

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3124

　　最近圓對問題（二分 + 掃描線）

　　HDU 3867 Light and Shadow

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3867

　　(按極角掃描)注意-PI和PI的位置分割

　　下面看了一些隨機演算法：（08年顧研論文-《淺談隨機化思想在幾何問題中的應用》）

 　　　　（1）隨機增量法：這個演算法很犀利啊，把一些計算幾何的問題降了一個n複雜度。（典型的有最小圓覆蓋）

　　　　　　　　網上找了最小圓覆蓋的隨機增量演算法，裡面程式碼倒是不錯，就是解釋的不是很清楚，推薦看《計算幾何演算法與應用(第3版)》（鄧俊輝譯，清華大學出版社出版）中第91頁“4.7最小包圍圓”這個章節中的內容，比較詳細也很清楚，程式碼我參考了這個blog的http://blog.csdn.net/pvpishard/archive/2011/01/27/6167262.aspx

　　　　（2）模擬退火：參考顧研論文

　　　　　　模擬退火的題目：

　　　　　　POJ 1379 Run Away

　　　　　　http://poj.org/problem?id=1379

 

　　　　　　POJ 2420 A Star not a Tree?

　　　　　　http://poj.org/problem?id=2420

 

　　　　　　URAL 1520 Empire Strikes Back（推薦）

　　　　　　http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1520

　　　　　　顧研論文例題，不錯的題目

 

　　　　　　POJ 2069 Super Star

　　　　　　http://poj.org/problem?id=2069

　　　　　　此題我WA和TLE了很多次

 

　　　　　　POJ 3301 Texas Trip

　　　　　　http://poj.org/problem?id=3301

　　　　　　這題也可以用三分

　　　　　　

　　　　　　SPOJ 4409 Circle vs Triangle

　　　　　　https://www.spoj.pl/problems/AREA1/

　　　　　　模擬退火 + 解析幾何

 

　　　　　　POJ 3285 Point of view in Flatland

　　　　　　http://poj.org/problem?id=3285

　　　　　　這題的難點在於找到合適的評估函式，當然這題也可以通過解方程組來做

 

　　　　　　POJ 2600 Geometrical dreams

　　　　　　http://poj.org/problem?id=2600

　　　　　　這題不是模擬退火的題，但是可以用模擬退火過。非模擬退火的方法也不難

 

 

 

 

 

　　解析幾何，平面最近點對，。。。這些搞得也不是很深入。

 

 

　　

　　摺紙問題 參見大牛dumbear的blog http://dumbear.com/blog/?p=249

　　兩道題目

　　POJ 1921 Paper Cut

　　http://poj.org/problem?id=1921

　　這題相對下一題還算比較好做

 

　　POJ 3806 Origami Through-Hole

　　http://poj.org/problem?id=3806

　　這題處理有點麻煩，我除錯了很久才過

 

　

　

 

 

 

 

 

 

　　圓的面積並和交，詳細可以看AekdyCoin大牛的blog

　　圓的面積並：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/c1b28e3711246b3f0b55a95e.html

　　圓的面積交：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/12267a4e9476153bafc3abbd.html

　　題目：

　　SPOJ 8073 The area of the union of circles

　　https://www.spoj.pl/problems/CIRU/

 

　　SPOJ 3863 Area of circles

　　https://www.spoj.pl/problems/VCIRCLES/

　　SPOJ 8119 CIRU2

　　https://www.spoj.pl/problems/CIRUT/

　　圓面積並的擴充

 

　　HDU 3467 Song of the Siren

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3467

 

　　HDU 3239 Jiajia's Robot (推薦)

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3239

　　很巧妙的一道題，我是看了AC大牛blog中的留言才知道到方法的。

　   方法見AC大牛blog中的一條留言：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/12267a4e9476153bafc3abbd.html

 

 

　　

　　凸多邊形的面積並

　　先看了AC大牛的blog學會了O(N^3)的方法，後來在做Codeforces的時候發現有O(N^2*logN)的方法，而且也不繁瑣

　　AC大牛的博文：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/fbe5a03232c71952ad4b5fcc.html

　　Codeforces Round #83 DIV1 的 E題用O(N^3)的方法過不掉第49組資料，然後研究了其他大牛的凸多邊形交的程式碼

　　http://codeforces.com/contest/107/status/E

　　先是看了dagon的程式碼發現其實他的程式碼有問題，Codeforces的資料居然沒有查出來。然後看了syntax_error的程式碼，

　　發現他是用類似梯形剖分的方法做的，複雜度O(N^2*logN)，果斷就學習了

　　題目：http://codeforces.com/contest/107/problem/E

　　有關細節：http://www.cnblogs.com/ch3656468/archive/2011/10/17/2215551.html

 

　　

 

 

　　有一類題目是給出一些點，並告訴你哪些點之間有連線，並且這些連線段之間除端點之外沒有其他交點（有時候這些線段是要自己處理出來的）。

 　　然後題目要你求

　　　　1 每小塊多邊形的面積

　　　　2 有多少個K多邊形內部不含點和線段

　　　　3 這些線段圍成的圖形的輪廓線

　　這類題目的方法都差不多，在很多大牛的blog裡都可以找到類似的方法。

　　比如：　gccfeli大牛的blog：http://gccfeli.cn/2007/09/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%87%A0%E4%BD%95-pku1092-%E5%A5%87%E7%89%B9%E7%9A%84%E6%8A%80%E5%B7%A7.html

　　　　　　watashi大牛的blog：http://watashi.ws/blog/970/andrew-stankevich-3-solution/

　　　　　　Isun大牛的blog：http://hi.baidu.com/xh176233756/blog/item/29652646f0e870006a63e5cb.html

　　題目：

　　POJ 1092 Farmland

　　http://poj.org/problem?id=1092

　　ZOJ 2361 Areas / SGU 209

　　http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2361

　　不錯的一題，watashi的blog裡有解題報告

 

　　POJ 3743 LL’s cake

　　http://poj.org/problem?id=3743

 

　　POJ 2164 Find the Border

　　http://poj.org/problem?id=2164

 

 

　　三維幾何

　　網上有關三維幾何的內容很少阿，程式碼和題目基本都不怎麼能搜到，我也就切了不多的幾題

　　前面座標旋轉裡的兩到題：

 

　　　　Harbin Online Contest 2010

　　　　http://acm.hrbeu.edu.cn/index.php?act=problem&id=1006&cid=16

　　　　三維座標旋轉。這個要有賬號才能提交，還有就是Sample Input 中第二個Sample的“275”改成“270”

　　　　FZU 2002 Shade of Hallelujah Mountain (2010福州regional)

　　　　http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2002

 

　　SGU 110 Dungeon

　　http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=110

　　三維光線反射

 

　　FZU 1981 Three kingdoms (2010福州網路賽)

　　http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1981

　　座標對映，我一開始用map一直TLE，只好改成不用map的程式碼 

 

　　UVA 11275 3D Triangles

　　http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=24&page=show_problem&problem=2250

　　HDU 4042是這題的加強版，我使用同樣的程式碼AC的

　　對於這題題目中詭異的精度0.000001我並沒有特別處理

 

　　HDU 4042 Fireworks (2011北京網路賽)

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4042

　　很不錯的題目 (解題報告：http://hi.baidu.com/%D0%A1%CE%E4rj/blog/item/0114bb2dcd4cdef78b13991d.html)

 

　　HDU 4087 ALetter to Programmers (2011 北京現場賽)

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4087

　　三維旋轉矩陣 + 矩陣加速

 

　　其他一些題目：

　　EOJ 283 Target Practice

　　http://202.120.106.94/onlinejudge/problemshow.php?pro_id=283

　　搜尋 + 幾何

 

　　POJ 1688 Dolphin Pool

　　http://poj.org/problem?id=1688

　　這題有好幾種做法

 

　　POJ 1981 Circle and Points

　　http://poj.org/problem?id=1981

　　很經典的一道題目

 

　　POJ 3675 Telescope

　　http://poj.org/problem?id=3675

　　圓和多邊形的公共面積

 

　　POJ 1259 The Picnic

　　http://poj.org/problem?id=1259

　　最大凸洞，計算幾何 + DP

 

　　POJ 1586 Three Sides Make a Triangle

　　http://poj.org/problem?id=1586

　　題目內容很簡單，方法也很明顯，不過想AC可不容易，精度很噁心的一題，我是看了discuss才過的

　　

　　HDU 3629 Convex （推薦）

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3629

　　一道不錯的題目，這題有兩種思路：

　　　　1)http://apps.topcoder.com/wiki/display/tc/TCO%2710+Online+Round+4

　　　　2)http://www.owent.net/2010/09/the-35th-acmicpc-asia-regional-tianjin-site-%E2%80%94%E2%80%94-online-contest-1009-convex-%E8%A7%A3%E9%A2%98%E6%8A%A5%E5%91%8A.html

 

　　HDU 3644 A Chocolate Manufacturer's Problem (2010杭州網路賽)

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3644

　　本來想用模擬退火水一下的，結果徘徊於WA和TLE之間無法AC

 

　　FZU 1973 How many stars (推薦) (2010福州網路賽)

　　http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1973

　　比較經典的一道題目

 

　　POI2007 對稱軸osi

　　http://www.zybbs.org/JudgeOnline/problem.php?id=1100

　　很犀利的一道題目，題意是判多邊形的對稱軸個數，原來做的這種題目都是用O(N^2)的複雜度來解的，

　　這次O(N^2)果斷不行，加隨機化也過不了，最後在解題報告的指導下才搞定這題。第一次發現計算幾何

　　的問題居然還能用字串的方法解。

　　網上搜到的解題報告：http://hi.baidu.com/nplusnplusnplu/blog/item/d260baef2e9e9c5879f055cb.html

 

 

　　下次再搞計算幾何的時候會更加深入一些。