基礎知識
向量
概念：有大小和方向的量
基礎演算法：
（1）加：\((A.x + B.x,A.y + B.y)\)
（2）減：\((A.x - B.x,A.y - B.y)\)
（3）乘常數：\((A.x * k,A.y * k)\)
（4）點積：\(A · B = |A||B|\cos\theta = A.x * B.x + A.y*B.y\)
（5）叉積：\(A \times B = |A||B|\sin\theta = A.x * B.y - A.y*B.x\)
基礎演算法
（1）旋轉：將 \((x,y)\) 逆時針旋轉 \(\theta\) 就是 \((x * \cos\theta - y * \sin\theta,x * \sin\theta + y * \cos\theta)\)
（2）把向量 \(A\) 轉到與向量 \(B\) 同向：\(B * \dfrac{|A|}{|B|}\)
（3）求多邊形面積：\(\dfrac{1}{2}|\sum_{i=1}^{n-1}P_i \times P_{(i+1)\%n}|\)
（4）以 \(A\) 為原點 \(B\) 為單位點求 \(P\) 的新座標：\((\vec{AB} · \vec{AP},\vec{AB} \times \vec{AP}) * \dfrac{1}{|AB|^2}\)
（5）\(P\) 與直線 \(AB\) 的位置關係：根據 \(\vec{AB} \times \vec{AP}\)
（6）點 \(P\) 在直線 \(AB\) 上的投影：\(A + \dfrac{\vec{AB} * (\vec{AB} · \vec{AP})}{|AB|^2}\)
（7）點與線段的位置關係：判斷與線段所在直線的位置關係、點積判斷在哪裡
（8）\(AB \mathop{//} CD：\vec{AB} \times \vec{CD} = 0\)
（9）直線 \(AB\) 和直線 \(CD\) 求交點：\(A + \vec{AB} * \dfrac{\vec{CD}\times\vec{CA}}{\vec{AB} \times \vec{CD}}\)
（10）線段與直線求交點：線段兩端點在直線兩側、直線求交點
凸包
Graham 掃描法
求凸包：
（1）找到所有的點中最左下角的點，並加入棧中
（2）將所有點按極角排序逆時針
（3）每次找到一個點，判斷該點是否在最後這條邊的右邊，若是則彈出棧頂，直到不能彈出就加入棧裡
求下凸殼：
按橫座標從小到大排序，然後執行上文 （3）
求上凸殼：
按橫座標從大到小排序，然後執行上文（3）
旋轉卡殼
本質：固定一個點，所求與另一個點的位置呈單峰函式且峰值關於固定點單調的演算法
例題：
題目描述：
求解凸多邊形的直徑。直徑的定義為凸多邊形上兩點間距離的最大值。
解法：
（1）任意選擇一個點為固定點
（2）以固定點在逆時針順序下的下一個點為第二個點
（3）因為這兩點間的距離與第二個點的位置呈單峰函式，且峰值關於固定點單調，所以就按逆時針方向移動第二個點
（4）移動到最大距離處，計算貢獻，並按逆時針方向移動固定點，不移動第二個點
（5）重複（3）直到移動結束
例如下圖所示：
先隨機找到固定點 \(A\)，與對應的第二個點 \(B\)
移動 \(B\) ，使得 \(A\) 與 \(B\) 兩點間距離最大
保持 \(B\) 不動，移動 \(A\)
然後再按照上文的方法一直迴圈執行
圓
點與圓
判斷點是否在圓上： \(d \le r\)
\(d = |PC|,r = r\) \(\angle DAC = \arccos(\dfrac{r}{d}),\angle DAC = (\arcsin\dfrac{r}{d})\)
直線與圓
根據叉積得到 \(d\)
\(|MA| = |MB| = \sqrt{r^2 - d^2}\)，\(\angle OBM = \arccos \dfrac{d}{r}\)
圓與圓
是否相交
根據 \(d\) 與 \(r_1 + r_2\)
不交圓外公切線
\(k = r_2 - r_1 , \angle CAB = \arccos \dfrac{r2-r1}{d},\angle DBA = \arccos \dfrac{r_1-r_2}{d}\)
不交圓內公切線
\(\angle BAG = \angle ABF = \arcsin \dfrac{r_1+r_2}{d}\)