俄羅斯總理的幾何題

阮一峰發表於2021-09-22

9月1日是俄羅斯的知識節,因為這一天是各級學校的開學日,象徵進入知識寶庫的日子。

今年的知識節,俄羅斯總理米哈伊爾·米舒斯京(Mikhail Mishustin)來到莫斯科物理技術學院(MIPT)視察。該校是俄羅斯頂級的理工科大學,出過許多諾貝爾獎得主和著名科學家。

米舒斯京總理來到新生的教室,給學生們講話。他看到黑板上寫滿了數學公式,一時興起,就上前寫了一道數學題,要求大家當場解答。

根據維基百科,米舒斯京生於1966年,大學專業是系統工程,主修計算機輔助設計。工作以後,還讀過一個經濟學博士。在擔任總理之前,他是俄羅斯聯邦稅務局長。

他出的是一道幾何題,題目如下。

給定圓上的一個點和一條直徑,你能否找到一種方法,畫出從該點到直徑的垂直線(下圖的綠線)。

這道題的難點在於,你不能使用任何測量工具,唯一可以用的就是一把不帶有標記的直尺。

大家可以思考一下,這道題怎麼解。

雖然它用不到高深的數學知識,初中的幾何學課程就可以解答,但也不算容易。你必須知道兩個基本的幾何定理,才能想出答案。

第一個是泰勒斯定理,歐幾里得《幾何原本》提到過: 圓上任意一點與直徑組成的三角形,是直角三角形。

第二個定理是: 銳角三角形的三條高交於一點。

如果你已經忘了這兩個定理,可以再去看一下初中幾何課本,這裡就不給出證明了。

下面我根據一個數學家寫給英國《衛報》的文章,介紹如何解答這道題。

如果你還想再思考一下,自己找到答案,那就暫時不要往下看了。我要講答案了。

第一步,在相同的半圓上,任意再找一個點。將這兩個點,與直徑的相鄰端點連起來,連線延長後可以形成一個三角形。

上圖中,圓周上的兩個點與直徑組成的,都是直角三角形。它們可以看作直徑的兩個端點到綠邊的兩條高。

第二步,上一步的兩條高產生了一個交點,將這個交點與三角形的外部頂點連起來,延長後與直徑相交。

根據三角形的三條高交於一點,可以知道,上圖的綠線是直徑的一條垂直線。後面只需要找到它的平行線,穿過紅點即可。

第三步,上一步的綠線與圓周有一個交點,將這個交點與紅點連起來,延長後與直徑相交(上圖的第一個綠點)。

同時,將上一步的垂直線延長,與另一側的圓周相交,產生一個交點(上圖的第二個綠點)。

第四步,將上一步的兩個綠點連起來,這條線會與圓周產生一個交點(上圖的綠點)。

再將綠點與紅點連起來(上圖的黃線),這就是我們所要尋找的答案:紅點到直徑的垂直線。

這是因為上圖的兩條綠邊與第二步的垂直線,形成了一個等腰三角形,原始的那條直徑就是等腰三角形頂點到底邊的高。這意味著,紅點與綠點是對稱的,它們的連線平行於底邊,所以垂直於高(直徑)。

至此,整道題解答完畢。

米舒斯京總理在黑板上畫完解題過程後,對學生們說:

"你們會在大學裡面,學到數學、物理、化學知識,但是不要忘了那些基礎知識。基礎知識與專業知識結合起來,你就能解決任何問題,不僅是科學問題,也包括商業問題。"

(完)

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