硬幣找零問題是動態規劃的一個經典問題，其中最少硬幣找零是一個變種，本篇將參照上一篇01揹包問題的解題思路，來詳細講解一下最少硬幣找零問題。如果你需要檢視上一篇，可以點選下面連結： 詳解動態規劃01揹包問題--JavaScript實現
也可以檢視下一篇 詳解動態規劃最長公共子序列--JavaScript實現
下面讓我們開始吧。
問題
給定4種面額的硬幣1分，2分，5分，6分，如果要找11分的零錢，怎麼做才能使得找的硬幣數量總和最少。
分析
最少硬幣找零問題，是為了求硬幣的組合，所以一個大前提是硬幣無限量供應。我們建立如下表格來分析問題：
其中每列用j表示零錢總額，每行i表示硬幣面額。T[i][j]表示硬幣個數，它是我們即將填入表格的數字。
在填寫表格之前，我們需要先明確幾個規則：
- 當填寫第i行時，使用的硬幣面額僅能是i以及小於i的面額。舉個例子，比如我填寫第0行，i=0，那麼這一樣只能使用面額為1分的硬幣。當我填寫第2行，i=2，那麼可以使用1分，2分，5分三種面額的硬幣。
- 當填寫第j列時，表示當前需要使用硬幣湊出的總額。比如j=6，表示需要使用硬幣組合出總額為6分的情況。
1. i = 0
當我們只能使用面額為1分的硬幣時，根據上面的規則，那麼很顯然，總額為幾分，就需要幾個硬幣。即T[i][j] = j。
2. i = 1
當我們有1分和2分兩種面額時，那麼組合方式就相對多了點。
i=1 j = 1：總額為1時，只能使用1分的面額。即填1。
i=1 j = 2：總額為2時，可以使用2個1分的，也可以使用1個2分的。因為我們要求最少硬幣，所以使用1個2分的。表格所表達的意思是硬幣的數量，所以這裡也填1。
i=1 j = 3：總額為3時，可以使用3個1分的，也可以使用1個1分加1個2分。因此這裡應該填2。
i=1 j = 4：總額為4時，可以使用4個1分的，可以使用2個1分加1個2分，也可以使用2個2分。其中硬幣最少的情況應該是2個2分。因此這裡填2。
i=1 j = 5：總額為5時，組合就更多了，但是聰明的你應該能想到使用2個2分加1個1分，可以實現最少硬幣的需求。因此這裡填3。
我們來看填寫完上面5格後的情況：
建議你自己再紙上照著我這圖畫一個表格。接下來，別急著填表。我們要根據已有的資料，總結出T[i][j]的規律，然後通過填寫剩餘表格來驗證。
我們將硬幣面額使用陣列coins[i]來表示，根據表格有 1分=coins[0], 2分=coins[1]。
當j<coins[i]時，T[i][j]的值，應該等於它的同列，上一行，即使T[i][j] == T[i-1][j]。 比如我們從表中所看到的，T[1][1]==T[0][1]。
當j>=coins[i]時，根據已有的 i=1行可以推出一個規律，令a = 1+T[i][j-coins[i]]，T[i][j]= min(T[i-1][j],a)，即二者比較取最小值。可能一開始你看到這個關於a的公式，有點太突然，難以接受。稍微解釋一下，當第i行，優先選擇這一樣的硬幣，因為這一行的硬幣面額最大，最有可能使得總硬幣數量最少。因此j-coins[i]，就很好理解了，就是選擇了這一行的硬幣後，還剩下多少總額。舉個例子，當i=1，j=3時，j-coins[1]=1。那麼選擇2分後，還剩餘總額為1，這時候我們再定位到i=1，j=1，即T[1][1]，它的值為1，再加上一個常數1，即得最終結果2。
再舉例，i=1 j=5。由於是從左到右填表的，所以i=1，j<5的表格都填完了。j-coins[i]=3，定位到T[1][3]=2，加上常數1，即得最後結果T[1][5]=3。
其實公式本身很短，也很好記。如果實在無法理解，建議先不用糾結。先最小化瀏覽器，不要看本篇剩餘的內容。帶著這個解題公式，自己在紙上，把這個表格填寫完整，在填表分析的過程中就能慢慢理解了。
3. 剩餘內容
按照上一步所提供的公式，其實所有的T[i][j]都可以填完了。如下表格。
建議先自己再紙上填表，填完了，再和我的圖對比一下，看是否答案存在出入。
4.虛擬碼
以上的填表邏輯，使用虛擬碼表示如下
if(i == 0){
T[i][j] = j/coins[i]; //硬幣找零一定要有個 最小面額1，否則會無解
}else{
if(j >= coins[i]){
T[i][j] = min(T[i-1][j],1+T[i][j-coins[i]])
}else{
T[i][j] = T[i-1][j];
}
}
複製程式碼5. 尋找組合
至此，填完表格我們已經接近完成了。接下來要尋找從表格中尋找硬幣組合。?
與填表順序相反，尋找組合從有下角開始。
首先需要明確的是如果T[i][j] == T[i-1][j]，那麼就向上搜尋。根據圖來分析：
1. 定位到T[3][11] ，由於不存在T[i][j] == T[i-1][j]，所以不用向上搜尋，確定選中一個6分硬幣。尋找組合的思路和填寫T[i][j]的思路幾乎是反過來的。
2. 選擇一個6分硬幣後，剩餘的總額為11-6=5。因此定位到T[3][5]中。由於T[3][5]==T[2][5]，因此看圖中的藍色箭頭，向上搜尋，直到T[i][j] != T[i-1]。
3. 定位到T[2][5]中，此時coins[i]為5分。選中5分硬幣只有，剩餘的總額為5-5=0。
4. 當j=0時，搜尋結束。由上面步驟確定選中的硬幣組合為：1個5分，1個6分。
程式碼
以上就是整個最少硬幣找零問題的分析思路。最終程式碼使用 JavaScript 實現，如果你的 Sublime 支援純 JavaScript，你可以直接複製黏貼程式碼，command + b 直接執行檢視結果，然後修改輸入變數，檢視更多情況下的輸出結果。
//動態規劃 -- 硬幣找零問題
function minCoins(coins,total,n){
var T = [];
for(let i = 0;i<n;i++){
T[i] = []
for (let j=0;j<= total;j++){
if(j == 0){
T[i][j] = 0;
continue;
}
if(i == 0){
T[i][j] = j/coins[i]; //硬幣找零一定要有個 最小面額1，否則會無解
}else{
if(j >= coins[i]){
T[i][j] = Math.min(T[i-1][j],1+T[i][j-coins[i]])
}else{
T[i][j] = T[i-1][j];
}
}
}
}
findValue(coins,total,n,T);
return T;
}
function findValue(coins,total,n,T){
var i = n-1, j = total;
while(i>0 && j >0){
if(T[i][j]!=T[i-1][j]){
//鎖定位置,確定i,j值，開始找構成結果的硬幣組合。 其實根據這種計算方法，只需要考慮最右邊那一列，從下往上推。
//console.log(T[i][j]);
break
}else{
i--;
}
}
var s = []; //儲存組合結果
while(i >= 0 && j > 0 ){
s.push(coins[i]);
j=j-coins[i];
if(j <= 0){
break; //計算結束，退出迴圈
}
//如果 i == 0,那麼就在第 0 行一直迴圈計算，直到 j=0即可
if(i>0){
//console.log(i);
while(T[i][j] == T[i-1][j]){
i--;
if(i== 0){
break;
}
}
}
}
console.log(s);
//可以把陣列s return 回去
}
var coins = [1,2,5,6];
var total = 11
var n = coins.length
console.log(minCoins(coins,total,n));
複製程式碼