前面兩篇我們講解了01揹包問題和最少硬幣找零問題。這篇將介紹另一個經典的動態規劃問題--最長公共子序列。如果沒看過前兩篇，可點選下面連結。
問題
給定兩個字串序列 abcadf , acbad，求這兩個字串的最長公共子序列
分析
最長公共子序列問題，有三個點需要注意
- 兩個序列長度不一定相同
- 最長子序列是指，在兩個字串序列中以相同順序出現
- 所求的子序列不需要連續
在進行填表分析之前，根據上面提到的三個點，我們可以很容易地先直接得出答案，最長公共子序列應為 acad
1. 建表
我們給兩個子序列前面都加一個空字元，即
input1 = ["","a","c","b","a","d"],
input2 = ["","a","b","c","a","d","f"],
複製程式碼然後構建如下表格
為什麼填一堆0呢？表示字串無法匹配，你可以理解這是一種輔助的計算方式，在分析具體子序列時，不把構建的空字元納入考慮範圍。在後面也會按照前面2篇的思路，使用T[i][j]表示組合的子序列長度。
下面將從左往右，從上往下開始填表。我們在填寫某一個表格的時候，只需要考慮小於等於i 和小於等於j的情況。比如我們要填寫T[2][2]時，那麼此時等同於求字串 ac,ab的最長公共子序列，填寫T[4][5]時，那麼此時等同於求 acba，abcad的最長公共子序列長度。
如果你看過前兩篇，對於這種填表應該會很熟悉。 下面基於這個表格，開始填表。
2. i =1
我們從第一行開始。
i=1 j=1：此時等同於求字串 a和a的最長公共子序列長度，很顯然結果為1。
i=1 j=2：此時等同於求字串 a和ab的最長公共子序列長度，結果為1。
i=1 j=3：此時等同於求字串 a和abc的最長公共子序列長度，結果為1。
只要一個序列只有一個字元，那麼另一個序列無論多長，它們的最長公共子序列長度最多隻能為1。所以 i=1 行剩餘空格都填1。
3. i = 2
i=2 j=1：此時等同於求字串 ac和a的最長公共子序列長度，結果為1。
i=2 j=2：此時等同於求字串 ac和ab的最長公共子序列長度，結果為1。
i=2 j=3：此時等同於求字串 ac和abc的最長公共子序列長度。這時就有意思了。因為根據一開始的分析，求最長公共子序列時，子序列是可以不連續的，因此這兩個序列的最長公共子序列應該是 ac，所以這裡表格應該填2。
好了，停下，先不用急著繼續填，我們需要先分析一下通用思路。
4.填表思路
我們從T[2][3]=2 這一個格分析。很顯然去除 c 這個公共字元後，兩個字串還剩下 a, ab。是不是有點熟悉？這個其實就是填寫 T[1][2] 時的組合，也就是我們可以假設當 input1[i] == input2[j]時，T[i][j]=T[i-1][j-1]+1。
當input1[i] != input2[j]時，T[i][j]的值，取它上方或左邊的較大值，即[i][j] = max(T[i-1][j],T[i][j-1])。
用一句通俗的話來描述這種T[i][j]規律，就是相等左上角加一，不等取上或左最大值，如果上左一樣大，優先取左。
好了，不看下面內容，你帶著這種規律，把表格剩餘內容自己填寫完畢。
5.最終表格
理解了這種規律，我們沒必要把每一格該怎麼填重複敘述了。下面就是最終表格。
我們舉個例子，比如 i=5 j=4，此時input1[i] !=input2[j]，我們取它左邊（2）或者上方（3）的較大值，所以填寫3。
i=5 j=5，此時input1[i] ==input2[j]，我們直接取左上角值加1，左上角的值為T[4][4]=3，所以T[5][5]=4 。
如果還不太理解，可以自己再練習畫一次。
6.尋找子串
我們完成填表後，只能求出最長公共子序列的長度，但是無法得知它的具體構成。我們可以參照上一篇硬幣問題，從填表的反向角度來尋找子序列。
我們子序列儲存在名為 s的陣列中，從表格中反向搜尋，找到目標字元後，每次都把目標字元插入到陣列最前面。
根據前面提供的填表口訣，我們可以反向得出尋找子序列的口訣： 如果T[i][j]來自左上角加一，則是子序列，否則向左或上回退。如果上左一樣大，優先取左。
1. 從右下角開始分析，T[5][6]=4，它並不是來自左上角。它左邊的值比上方大，所以它來自左邊，向左回退，如下圖箭頭。
2. 接著就定位到 T[5][5]，顯然他來自左上角加1，它是子序列。插入陣列中，有
s = ['d']
複製程式碼3. 扣除掉 T[5][5]，可以定位到它的左上角 T[4][4]，如圖：
T[4][4]也是來自左上角加1，它也是子序列，把它插入到陣列最前面，此時 s 應該是
s = ['a','d']
複製程式碼4. 按照前面的思路，繼續定位分析，最終如下圖：
s = ['a','b','a','d']
複製程式碼虛擬碼
整個分析過程已經完成了。下面提供程式碼邏輯，即使不懂 JavaScript，也不會影響你理解，因為沒有涉及語言特性。
填表
if(input1[i] == input2[j]){
T[i][j] = T[i-1][j-1] + 1;
}else{
T[i][j] = max(T[i-1][j],T[i][j-1])
}
複製程式碼尋找子串
if(input1[i] == input2[j]){
s.insertToIndexZero(input1[i]); //插入到陣列最前面
i--;
j--;
}else{
//向左或向上回退
if(T[i-1][j]>T[i][j-1]){
//向上回退
i--;
}else{
//向左回退
j--;
}
}
複製程式碼完整程式碼
最終程式碼使用 JavaScript 實現，如果你的 Sublime 支援純 JavaScript，你可以直接複製黏貼程式碼，command + b 直接執行檢視結果，然後修改輸入變數，檢視更多情況下的輸出結果。
//動態規劃 -- 最長公共子序列
//!!!! T[i][j] 計算，記住口訣：相等左上角加一，不等取上或左最大值
function longestSeq(input1,input2,n1,n2){
var T = []; // T[i][j]表示 公共子序列長度
for(let i=0;i<n1;i++){
T[i] = [];
for(let j= 0;j<n2;j++){
if(j==0 ||i==0){
T[i][j] = 0;
continue;
}
if(input1[i] == input2[j]){
T[i][j] = T[i-1][j-1] + 1;
}else{
T[i][j] = Math.max(T[i-1][j],T[i][j-1])
}
}
}
findValue(input1,input2,n1,n2,T);
return T;
}
//!!!如果它來自左上角加一，則是子序列，否則向左或上回退。
//findValue過程，其實就是和 就是把T[i][j]的計算反過來。
function findValue(input1,input2,n1,n2,T){
var i = n1-1,j=n2-1;
var result = [];//結果儲存在陣列中
console.log(i);
console.log(j);
while(i>0 && j>0){
if(input1[i] == input2[j]){
result.unshift(input1[i]);
i--;
j--;
}else{
//向左或向上回退
if(T[i-1][j]>T[i][j-1]){
//向上回退
i--;
}else{
//向左回退
j--;
}
}
}
console.log(result);
}
//兩個序列，長度不一定相等, 從計算表格考慮，把input1和input2首位都補一個用於佔位的空字串
var input2 = ["","a","b","c","a","d","f"],
input1 = ["","a","c","b","a","d"],
n1 = input1.length,
n2 = input2.length;
console.log(longestSeq(input1,input2,n1,n2));
複製程式碼