前言
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希望上海疫情儘早過去，其實有一段穩定的時間是比較適合沉澱一下技術的，多少還是自己有些散漫，近期應該會恢復更新《手撕MySQL》系列文章。這篇文章通過一道經典例題：最長公共子序列，給大家講講動態規劃，並且給出一道LeetCode周賽動態規劃題作為練手並講解，相信看完文章之後，你會對動態規劃有更深的理解。
關於後面的dp練手題，是某次周賽的第四題，藉助這題，我會在後面分析部分講解如何從讀題開始，沉浸式一步一步解決一個演算法題。這個過程適用於所有的題目，比較重要，當然我們先從經典的最長公共子序列入手。
最長公共子序列
題目連結：LeetCode 1143
題目
給定兩個字串 text1 和 text2，返回這兩個字串的最長公共子序列的長度。如果不存在公共子序列，返回0。
一個字串的子序列是指這樣一個新的字串：它是由原字串在不改變字元的相對順序的情況下刪除某些字元（也可以不刪除任何字元）後組成的新字串，如ace是abcde的子序列。
兩個字串的 公共子序列 是這兩個字串所共同擁有的子序列。
分析
設dp[i] [j]為text1的前i個字元組成的串str1和text2的前j個字元組成的串str2的最長公共子序列，初始化時：dp[0] [j]與dp[i] [0]都為0，因為str1為空或者str2為空都將無法構成子序列
根據上面的表述，text1[i-1]是str1的最後一個字元，而不是text1[i]，因為下標從0開始；同理test2[j-1]表示str2的最後一個字元
那麼就可以開始討論狀態轉移方程： 如果 text[i-1] == text2[j-1]，表示str1的最後一個字元和str2的最後一個字元相等，那麼dp[i] [j] = dp[i-1] [j-1] + 1，可以理解成兩個字串都去掉相等的末尾字元，然後在前面剩餘的字元中再求最長公共子序列，最後結果+1，因為這個過程是可以追溯的，因此滿足動態規劃的要求
如果 text[i-1] != text2[j-1]，則dp[i] [j] = max(dp[i-1] [j], dp[i] [j-1]) ，因為dp[i-1] [j]和dp[i] [j-1]都是已經求出來的字問題的解，所以可以追溯，既然str1和str2的末尾不一樣，那麼就讓str1去掉末尾和str2求解或者str2去掉末尾和str1求解，兩者取最大值即可
程式碼
用的是go語言，但語言不是障礙～
func longestCommonSubsequence(text1 string, text2 string) int {
dp := make([][]int, len(text1)+1)
for i := range dp {
dp[i] = make([]int, len(text2)+1)
}
for i := 1; i <= len(text1); i++ {
for j := 1; j <= len(text2); j++ {
if text1[i-1] == text2[j-1] {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
} else {
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) //為節約篇幅max函式就不寫明瞭，這裡需要自己實現
}
}
}
return dp[len(text1)][len(text2)]
}
用地毯覆蓋後的最少白色磚塊
題目連結：LeetCode 2209
題目
給你一個下標從 0 開始的 二進位制 字串 floor ，它表示地板上磚塊的顏色。
- floor[i] = '0' 表示地板上第 i 塊磚塊的顏色是 黑色 。
- floor[i] = '1' 表示地板上第 i 塊磚塊的顏色是 白色 。
同時給你 numCarpets 和 carpetLen 。你有 numCarpets 條 黑色 的地毯，每一條 黑色 的地毯長度都為 carpetLen 塊磚塊。請你使用這些地毯去覆蓋磚塊，使得未被覆蓋的剩餘 白色 磚塊的數目 最小 。地毯相互之間可以覆蓋。
請你返回沒被覆蓋的白色磚塊的 最少 數目。
分析
其實在拿到題的一開始，如果看不太明白題意，建議先對照輸入輸出樣例去梳理，比如對於如下輸入輸出
輸入：floor = "10110101", numCarpets = 2, carpetLen = 2
輸出：2，表示最少有2塊白色沒有被覆蓋到（1表示白色）
結合樣例你大概懂了題意，好像是要用黑色的地毯儘可能去覆蓋白色的連續區域，使得最後剩餘的白色最少。大概明白做什麼之後，去看輸入輸出資料的取值範圍，因為這涉及到你設計的演算法的時間複雜度（主要是時間），如下：
1 <= carpetLen <= floor.length <= 1000
floor[i] 要麼是 '0' ，要麼是 '1' 。
1 <= numCarpets <= 1000
錯誤思路
floor長度1000，看樣子可以寫一個O(N^2)的演算法，你放心了。然後想：既然是儘可能去覆蓋白色連續區域，且每次就是拿一個長度為L的地毯去覆蓋，那麼我只要每次找一個長度為L的擁有最多白色的塊的區間去給他覆蓋不就行了，然後把白色改成黑色，外迴圈是地毯數量，核心是貪心！我又行了！
下面給出一組測試資料：
輸入：floor = "101111", numCarpets = 2, carpetLen = 3
輸出：0
如果是貪心，那麼首先會找到連續的3個1的部分，然後將其修改為100001，然後再找到包含一個1的長度為3的區間，將其修改為000001或者100000，無法到達最優效果：第一次覆蓋前3塊，第二次覆蓋後3塊。
正確思路
對於給出的資料，思考是否能使用dp求解，對於動態規劃來說，首先要確定規模，一維的dp本題無法勝任，因為地毯數量有多塊。
如果是二維dp，那麼i和j分別表示什麼，一般來說：我習慣於將j設定為被具體操作的“物件”空間（就像是0-1揹包我會將揹包空間設定為j，而物品的種類設定為i，因為所有i種物品都會放置在j大小的空間中，揹包空間此時是被操作"物件"），本題所有的地毯覆蓋到一個floor上，因此j的緯度是地磚數量（那麼i的維度就是地毯的數量）
最終dp[i] [j]表示使用i塊地毯覆蓋前j塊磚，所剩餘的白色的地磚的最少數量
下面給出狀態轉移方程：
如果第i塊地毯選擇覆蓋下標為j的地磚，則dp[i] [j] = dp[i-1] [j-carpetLen] ，表示只考慮前i-1塊地毯去覆蓋前j-carpetLen位置的最少白色塊數量（因為覆蓋了第i塊的位置全都變黑）
如果第i塊地毯選擇不覆蓋下標為j的地磚，則dp[i] [j] = dp[i] [j-1]+(floor[j] - '0') ，相當於只考慮用i塊地毯去覆蓋j-1的地磚，且可能第j塊磚是白色的，因此要加上
程式碼
func minimumWhiteTiles(floor string, numCarpets int, carpetLen int) int {
dp := make([][]int, numCarpets+1)
for i := range dp {
dp[i] = make([]int, len(floor))
}
num := 0
for i := 0; i < len(floor); i++ {
num += int(floor[i] - '0')
dp[0][i] = num
}
for i := 1; i <= numCarpets; i++ {
// 注意j的起始位置，前carpetLen長度就是一塊地毯的空間，此時的dp[i][j]一定是0
for j := carpetLen; j < len(floor); j++ {
// 對於j位置，需要在兩種情況中選擇白色數量最少的一種保留
dp[i][j] = min(dp[i][j-1]+int(floor[j] - '0'), dp[i-1][j-carpetLen])
}
}
return dp[numCarpets][len(floor)-1]
}
結束
建議在看過文章之後自己去做一下1143和2209兩道題，相信你對動態規劃的掌握一定會更上一層。演算法水平在面試筆試當中還是十分重要的，經典動態規劃題更是很多題目的模板出處，值得學習。
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